小球下落 （二叉树的应用）
有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1，2，3，...，2^D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，它的状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否者往右走，直到走到叶子结点。
一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数（即2^(D-1)）。D<=20。输入最多包含1000组数据。
样例输入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
样例输出：
12
7
512
3
255
36358
[分析]
不难发现，对于一个结点k，它的左儿子、右儿子的编号分别是2k和2k+1 。所以方法[1] 可以模拟程序输出结果。但是这种方法的缺点是：运算量太大 ，由于小球个数I可以高达2^(D-1)，每个测试数据下落总层数可能会高达2^19*(20-1)=9961472。所以效率比较低。
考虑方法[2] ，每个小球都会落在根结点上，因此前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子树。一般地，只需看小球的编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中 。对于那些落入根结点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右了。以此类推，直到小球落到叶子上。当I是奇数时，它是往左走的第(I+1)/2个小球；当I是偶数时，它是往右走的第I/2个小球。这样，可以直接模拟最后一个小球的路线 。这样，程序的运算量就与小球编号无关 了，而且节省了一个巨大的数组 tree，程序的效率很高。
[1] 通过模拟程序输出结果。
[cpp] view plain copy
- #include <cstdio>
- #include <string>
- #include <ctime>
- #include <cstdlib>
- using std::string;
- const int manx=20;
- int tree[1<<manx];// the biggest number of node is 2^manx -1
- int main()
- {
- 10. int D;// depth of tree, less_equal than 20
- 11. int I;// number of small ball
- 12. clock_t beg, end;
- 13. while (scanf("%d%d",&D,&I)==2)
- 14. {
- 15. beg=clock();
- 16. memset(tree,0,sizeof(tree));
- 17. int k, n=(1<<D)-1;// n is the biggest number of nodes
- 18. for (int i=0; i<I; ++i)
- 19. {
- 20. k=1;
- 21. for (;;)
- 22. {
- 23. tree[k]=!tree[k];
- 24. k=tree[k] ? k*2 : k*2+1;// choose the direction by switch tree[k]
- 25.
- 26. if (k>n)// out of range
- 27. break;
- 28. }
- 29. }
- 30. end=clock();
- 31. printf("%d/n",k/2);// the number of node before out of range
- 32. printf("time used: %lfs/n",(double)(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC);
- 33. }
- 34. return 0;
35. }
36. /*
37. 16 65535
38. 49151
39. time used: 0.016000s
40. */
[2] 根据规律输出结果。
[cpp] view plain copy
- #include <cstdio>
- #include <string>
- #include <ctime>
- #include <cstdlib>
- using std::string;
- int main()
- {
- int D;// depth of tree, less_equal than 20
- int I;// number of small ball
- 10. clock_t beg, end;
- 11. while (scanf("%d%d",&D,&I)==2)
- 12. {
- 13. beg=clock();
- 14. int k=1;
- 15. for (int i=0; i<D-1; ++i)
- 16. {
- 17. if (I%2)
- 18. {
- 19. // odd
- 20. k=k*2;
- 21. I=(I+1)/2;
- 22. }
- 23. else
- 24. {
- 25. //even
- 26. k=k*2+1;
- 27. I/=2;
- 28. }
- 29. }
- 30. end=clock();
- 31. printf("%d/n",k);
- 32. printf("time used: %lfs/n",(double)(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC);
- 33. }
- 34. return 0;
35. }
36. /*
37. 16 65535
38. 49151
39. time used: 0.000000s
40. */