【bzoj2038】[2009国家集训队]小Z的袜子(hose)（细致总结）
Description
作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。
Output
包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）
Sample Input
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
Sample Output
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。
题解
莫队算法
如果我们已知[l,r]的答案，能在O(1)时间得到[l+1,r]的答案以及[l,r-1]的答案，即可使用莫队算法。时间复杂度为O(n^1.5)。如果只能在logn的时间移动区间，则时间复杂度是O(n^1.5*log n)。
其实就是找一个数据结构支持插入、删除时维护当前答案。
这道题的话我们很容易用数组来实现，做到O(1)的从[l,r]转移到[l,r+1]与[l+1,r]。
那么莫队算法怎么做呢？以下都是在转移为O(1)的基础下讨论的时间复杂度。另外由于n与m同阶，就统一写n。
如果已知[l,r]的答案，要求[l’,r’]的答案，我们很容易通过|l – l’|+|r – r’|次转移内求得。
将n个数分成sqrt(n)块。
按区间排序，以左端点所在块内为第一关键字，右端点为第二关键字，进行排序，也就是以(pos [l]，r)排序
然后按这个排序直接暴力，复杂度分析是这样的：
1、i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n^0.5块，所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5，跨越一块也不会超过n^0.5，忽略*2。由于有m次询问（和n同级），所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了
得到的方式就是：
1、先分块
2、再排序（左端点所在的块，右端点）
3、再暴力
关于时间复杂度：
在两个查询中转移的时候：
当两个查询的左端点在同一块时，左端点最多移动根号n，右端点最多移动n，所以是n根号n
当两个查询的左端点不再同一块时，左端点移动n，右端点也是n
上面这样想是左端点乘以右端点
其实应该是这m次询问中左端点移动的总数+又端点移动的总次数。
查询转移的时候，分块分为转移和不转移
是因为我们按分块排序了啊。
在考虑时间复杂度的时候，左右端点的维度不一样，但是都是
右端点的维度是：块的个数*n（数组长度）
左端点的维度是：块的大小*n次查询
总的复杂度为左端点+右端点
而造成这种考虑时间复杂度的时候的维度差异是和怎么排序相关的。
无论怎么操作，每次右端点的变化都是
因为左端点在同一块的时候，又端点排序之后都是都是递增的，所以同一块一定是n，而总共只有
块。
无论怎么操作，每次左端点的变化都是
或2
，而总共只有n次询问。
solution
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #define N 50001 6 #define ll long long 7 using namespace std; 8 int n,m,pos[N],c[N]; 9 ll s[N],ans; 10 ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} 11 ll sqr(ll x){return x*x;} 12 struct data{int l,r,id;ll a,b;}a[N]; 13 bool cmp(data a,data b) 14 { 15 if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r<b.r; 16 return a.l<b.l; 17 } 18 bool cmp_id(data a,data b) 19 {return a.id<b.id;} 20 void init() 21 { 22 scanf("%d%d",&n,&m); 23 for(int i=1;i<=n;i++) 24 scanf("%d",&c[i]); 25 int block=int(sqrt(n)); 26 for(int i=1;i<=n;i++) 27 pos[i]=(i-1)/block+1; 28 for(int i=1;i<=m;i++) 29 { 30 scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r); 31 a[i].id=i; 32 } 33 } 34 void update(int p,int add) 35 { 36 ans-=sqr(s[c[p]]); 37 s[c[p]]+=add; 38 ans+=sqr(s[c[p]]); 39 } 40 void solve() 41 { 42 for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++) 43 { 44 for(;r<a[i].r;r++) 45 update(r+1,1); 46 for(;r>a[i].r;r--) 47 update(r,-1); 48 for(;l<a[i].l;l++) 49 update(l,-1); 50 for(;l>a[i].l;l--) 51 update(l-1,1); 52 if(a[i].l==a[i].r) 53 { 54 a[i].a=0;a[i].b=1; 55 continue; 56 } 57 a[i].a=ans-(a[i].r-a[i].l+1); 58 a[i].b=(ll)(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l); 59 ll k=gcd(a[i].a,a[i].b); 60 a[i].a/=k;a[i].b/=k; 61 } 62 } 63 int main() 64 { 65 init(); 66 sort(a+1,a+m+1,cmp); 67 solve(); 68 sort(a+1,a+m+1,cmp_id); 69 for(int i=1;i<=m;i++) 70 printf("%lld/%lld ",a[i].a,a[i].b); 71 return 0; 72 }
测试代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 #define N 50001 6 #define ll long long 7 using namespace std; 8 int n,m,pos[N],c[N]; 9 ll s[N],ans;//这里的s数组时数出现的次数 10 //求公约数 11 ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} 12 //求平方 13 ll sqr(ll x){return x*x;} 14 //a是分子b是分母,id是后面排序让按顺序输出答案用的 15 struct data{int l,r,id;ll a,b;}a[N]; 16 bool cmp(data a,data b) 17 { 18 //如果左坐标在分块的同一个块里面，就返回右坐标小的 19 //否则返回左坐标小的 20 if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r<b.r; 21 return a.l<b.l; 22 } 23 bool cmp_id(data a,data b) 24 {return a.id<b.id;} 25 void init() 26 { 27 scanf("%d%d",&n,&m); 28 //c数组时记录数据的 29 for(int i=1;i<=n;i++) 30 scanf("%d",&c[i]); 31 //对n分块 32 int block=int(sqrt(n)); 33 //找到每个点所属的块 34 for(int i=1;i<=n;i++) 35 pos[i]=(i-1)/block+1; 36 cout<<"/***************开始*****************/"<<endl; 37 cout<<"pos[i]"<<endl; 38 for(int i=1;i<=n;i++) 39 cout<<pos[i]<<endl; 40 cout<<"/***************结束*****************/"<<endl; 41 //a数组读入查询 42 for(int i=1;i<=m;i++) 43 { 44 scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r); 45 a[i].id=i;//确定顺序，方便解决了好按问题次序输出 46 } 47 } 48 49 //对p点进行add操作 50 //就是那个带平方的公式 51 void update(int p,int add) 52 { 53 ans-=sqr(s[c[p]]); 54 s[c[p]]+=add; 55 ans+=sqr(s[c[p]]); 56 } 57 void solve() 58 { 59 //用l=1,r=0来依次验每一个查询的区间 60 //右（1,0）这个区间来得到我们的查询区间，通过左移或者右移一个 61 //从（1,0）没元素开始，每增加一个元素我们就需要update一次 62 for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++) 63 { 64 for(;r<a[i].r;r++) 65 update(r+1,1); 66 for(;r>a[i].r;r--) 67 update(r,-1); 68 for(;l<a[i].l;l++) 69 update(l,-1); 70 for(;l>a[i].l;l--) 71 update(l-1,1); 72 //如果区间只有一个数，那么返回0/1 73 if(a[i].l==a[i].r) 74 { 75 a[i].a=0;a[i].b=1; 76 continue; 77 } 78 //得到分子和分母的值 79 a[i].a=ans-(a[i].r-a[i].l+1);//ans是不同的个数 80 a[i].b=(ll)(a[i].r-a[i].l+1)*(a[i].r-a[i].l);//这个排列组合简单C(n,2) 81 //分子分母约分 82 ll k=gcd(a[i].a,a[i].b); 83 a[i].a/=k;a[i].b/=k; 84 } 85 } 86 int main() 87 { 88 freopen("in.txt","r",stdin); 89 init(); 90 //查询排序 91 cout<<"/***************开始*****************/"<<endl; 92 cout<<"a[i].l"<<" "<<"a[i].r"<<endl; 93 for(int i=1;i<=m;i++) cout<<a[i].l<<" "<<a[i].r<<endl; 94 cout<<"/***************结束*****************/"<<endl; 95 //按照左端点所在的块和右端点排序 96 sort(a+1,a+m+1,cmp); 97 cout<<"/***************开始*****************/"<<endl; 98 cout<<"a[i].l"<<" "<<"a[i].r"<<endl; 99 for(int i=1;i<=m;i++) cout<<a[i].l<<" "<<a[i].r<<endl; 100 cout<<"/***************结束*****************/"<<endl; 101 solve(); 102 //因为之前按照左端点所在的块和又端点排过序，所以为了得 103 //到查询的次序来输出答案，需要再按照查询的id排序 104 sort(a+1,a+m+1,cmp_id); 105 cout<<"/***************开始*****************/"<<endl; 106 cout<<"a[i].l"<<" "<<"a[i].r"<<endl; 107 for(int i=1;i<=m;i++) cout<<a[i].l<<" "<<a[i].r<<endl; 108 cout<<"/***************结束*****************/"<<endl; 109 for(int i=1;i<=m;i++) 110 printf("%lld/%lld ",a[i].a,a[i].b); 111 return 0; 112 }