匈牙利算法

二分图的最大匹配：匈牙利算法

讲之前本蒟蒻先普及一个重要专业名词

增广路。

如果你仔细读过并画过图，不难发现如果找到一条增广路，那么配对的个数就会加1。
所以说，增广路的本质其实就是一条路径的起点和终点都未配对的点的边。

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匈牙利算法：

这个叫匈牙利算法(Hungarian method)的东西是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，所以叫匈牙利算法。匈牙利算法是二分图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

复杂度：

时间复杂度 :

邻接矩阵最坏为 $ O( n^3 ) $
邻接表：$ O(mn) $

空间复杂度 :

邻接矩阵：$ O( n^2 ) $
邻接表：$ O(n+m) $

另一个重要概念：二分图

二分图是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集，则称图G为一个二分图。
学过高中数学的话应该能看懂我在说什么（逃

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。满足这样的图就叫二分图。

但我们怎么判断一个图是不是二分图？？？

其实也不难，用红蓝点的方法就行。首先讲任意的一个顶点染成红色，再把这个点相邻的顶点染成蓝色，如果按照这种染色方式可以将所有的顶点全部着色，并且相邻的顶点的颜色不同，那么该图就是一个二分图。

这里贴一下代码

#define MAXV 1000//这里应该根据题目自定

vector<int> G[MAXV];  //图 
int V;                       //顶点数 
int color[MAXV];  //顶点的颜色 （1 or -1） 


//顶点v，颜色c 
bool dfs(int v,int c){
    color[v] = c;
    //把当前顶点相邻的顶点扫一遍 
    for(int i = 0;i < G[v].size(); i++){
        //如果相邻顶点已经被染成同色了,说明不是二分图 
        if(color[G[v][i]] == c) return false;
        //如果相邻顶点没有被染色,染成-c,看相邻顶点是否满足要求 
        if(color[G[v][i]] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;
    }
    //如果都没问题，说明当前顶点能访问到的顶点可以形成二分图 
    return true;
}

void solve(){
    //可能是不连通图，所以每个顶点都要dfs一次 
    for(int i = 0;i < V; i++){
        if(color[i] == 0){
            //第一个点颜色为 1 
            if(!dfs(i,1)){
                cout << "No" << endl;
                return;
            }
        }
    }
}

这才是正文！！！

既然上面本蒟蒻已经介绍完了有关二分图的知识，那下面该讲下匈牙利算法了！！！

根据上文的描述，既然增广路的作用是“改进匹配方案”（即增加配对数），那么如果我们已经找到了一种匹配方案，不难发现如果在当前匹配方案下再也找不到任何增广路的话，那么当前匹配就是二分图的最大匹配，算法如下。

1.首先从任意的一个未配对的点u开始，从点u的边中任意选一条边（假设这条边是从 $ u->v $ ）开始配对。如果点v未配对，则配对成功，这是便找到了一条增广路。如果点v已经被配对，就去尝试“连锁反应”，如果这时尝试成功，就更新原来的配对关系。
所以这里要用一个 $ matched[v] = u $ 。配对成功就将配对数加1,。

2.如果刚才所选的边配对失败，那就要从点u的边中重新选一条边重新去试。直到点u
配对成功，或尝试过点u的所有边为止。

3.接下来就继续对剩下的未配对过的点一一进行配对，直到所有的点都已经尝试完毕，找不到新的增广路为止。

4.输出配对数。

CODE：

//如果你已经读完题，请自动从int main()处开始阅读 
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>

#define N 2010

using namespace std;

int n,m,e,ans;
int vis[N][N];
int ask[N],matched[N];

inline bool found(int x){ //dfs找增广路 
    for (int i = 1 ; i <= m ; i++)
      if (vis[x][i]){
        if (ask[i]) 
			continue;
        ask[i] = 1;
        if (!matched[i] || found(matched[i])) { 
			matched[i] = x ; 
			return true;
		}
      }
    return false;
}

inline void match(){
    int cnt = 0;//cnt是计数器 
    memset(matched,0,sizeof(matched));
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
      memset(ask,0,sizeof(ask));
      if (found(i)) 
	  	cnt++;	//找到了就加1 
    }
    ans = cnt;
}
//从这里向下看起 
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);//结点个数分别为n,m，边数为e
    for (int i = 1 ; i <= e ; i++){
      int x,y;
      scanf("%d%d",&x,&y);
      vis[x][y] = 1;
    }
    match();///匈牙利算法，见上 
    printf("%d 
",ans);
    return 0;
}

再补一个临接表的实现（就只放函数）

bool dfs(int x) {
	for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].to) {
		int v = e[i].from;
		if(!used[v]) {
			used[v] = 1;
			if(!matched[v] || dfs(matched[i]) ) {
				matched[v] = u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int match() {
	int res = 0;    
	memset(match,-1,sizeof(match) );    
	for(int u = 0 ; u < uN ; u++) {        
		memset(used, -1 , sizeof(used));        
		if(dfs(u)) res++;    
	}    
	return res; 
}

完结撒花（逃！！！