[模板]树状数组

先膜黑科技讲义 - Magolor orz

基础

设lowbit(x)表示的是把x的二进制只留下最低一位的1，然后lowbit(x)=x&(-x) （我也不知道为什么）

设c[x]表示从i往前一共lowbit(x)个数的和，那么x-lowbit(x)就是c[x]表示的范围的前一个数。

然后可以得到c[x]=c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2+lowbit(x)>>3]....+c[x-1]+a[x]。

也就是说，如果将这个关系做成一个树，x的父亲就是x+lowbit(x)（观察一下上面的式子，很容易发现每一项都满足）

要询问1到x的和的话，只要一直加c[x]，然后让x-=lowbit(x)直到x=0就好了

然后要修改一个点x的话，就一直往上修改它的父亲直到x>n就可以了。

也就是说，最基本的树状数组支持的是单点修改和前缀和查询，然后前缀和可以很容易地做成区间和（端点减一减）。

luogu3374

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define LL long long int
const int maxn=500050;

inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();int neg=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}

int N,M;
LL c[maxn];

inline void add(int x,int y){
    while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
inline LL query(int x){
    LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
}

int main(){
    int i,j,k;
    N=rd(),M=rd();
    for(i=1;i<=N;i++) add(i,rd());
    for(i=1;i<=M;i++){
        int a=rd(),b=rd(),c=rd();
        if(a==1) add(b,c);
        else printf("%lld
",query(c)-query(b-1));
    }
}

也可以支持区间修改和单点查询，只要做一个差分，区间修改就变成了两个端点的修改，单点查询就变成了前缀和查询。

luogu3368

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define LL long long int
const int maxn=500050;

inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();int neg=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}

int N,M;
LL c[maxn];

inline void add(int x,int y){
    while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
inline LL query(int x){
    LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;
}

int main(){
    int i,j,k;
    N=rd(),M=rd();
    for(i=1,j=0;i<=N;i++){
        k=rd();add(i,k-j);j=k;
    };
    for(i=1;i<=M;i++){
        int a=rd(),b=rd();
        if(a==1){
            int c=rd(),d=rd();
            add(b,d);add(c+1,-d);
        }
        else printf("%lld
",query(b));
    }
}

升级

区间修改和区间查询也是可以支持的，然后我选择线段树......

树状数组写起来真方便，suki

$$前n项和sum_{i=1}^{n}{a[i]}=sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{i}{d[j]}}（差分数组）=sum_{i=1}^{n}{(n-i+1)d[i]}=(n+1)sum_{i=1}^{n}{d[i]}-sum_{i=1}^{n}{i*d[i]}$$

这样的话，只要同时维护d[i]和i*d[i]，就可以做到区间修改和区间查询了。

luogu3372

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<set>
#define pa pair<int,int>
#define lowb(x) ((x)&(-(x)))
#define REP(i,n0,n) for(i=n0;i<=n;i++)
#define PER(i,n0,n) for(i=n;i>=n0;i--)
#define MAX(a,b) ((a>b)?a:b)
#define MIN(a,b) ((a<b)?a:b)
#define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define rei register int
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;

ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}

int N,M;
ll tr[maxn],itr[maxn];

inline void add(int x,ll y){
    ll yy=y*x;
    while(x<=N){
        tr[x]+=y;itr[x]+=yy;x+=lowb(x);
    }
}
inline ll query(int x){
    ll re=0,n=x;
    while(x){
        re+=(n+1)*tr[x]-itr[x];x-=lowb(x);
    }return re;
}

int main(){
    rei i,j,k;
    N=rd(),M=rd();ll lst=0;
    for(i=1;i<=N;i++){
        ll x=rd();add(i,x-lst);lst=x;
    }for(i=1;i<=M;i++){
        int a=rd(),b=rd(),c=rd();
        if(a==1){
            ll k=rd();add(b,k);add(c+1,-k);
        }else{
            printf("%lld
",query(c)-query(b-1));
        }
    }
    return 0;
}

二维的话也是可以做的，就相当于每跳到一个x都跳一遍y的lowbit，而且可以支持区间修改和区间查询

单点修改区间查询不多说，来说说区间修改和查询

仿照一维的形式，我们先得到差分数组

因为差分数组的前缀和就是原来那个点的值，所以能得到$d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$

所以如果是(x1,y1,x2,y2)区间加的话，就是给(x1,y1),(x2+1,y2+1)加，给(x1,y2+1),(x2+1,y1)减（手画一下）

然后是查询，也是有$(x1,y1,x2,y2)=S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1-1][y1-1]$

然后有

$$S[x][y]=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{j=1}^{y}{sumlimits_{k=1}^{i}{sumlimits_{l=1}^{j}{d[k][l]}}}}$$

$$=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{k=1}^{i}{sumlimits_{j=1}^{y}{((y+1)d[k][j]-j*d[k][j])}}}$$

$$=sumlimits_{i=1}^{x}{sumlimits_{j=1}^{y}{(x+1)(y+1)d[i][j]-(x+1)*j*d[i][j]-(y+1)*i*d[i][j]+i*j*d[i][j]}}$$

于是二维树状数组维护d,id,jd和ijd就行了

高级用法以后慢慢填