地狱门神(Rex)
1.概述
这两天，博客园里有人谈论到地铁图的实现，而之前我也和NeoRAGEx2002同学做了一个Android地铁图应用，因此，对于地铁图的寻路算法，我觉得有必要专门写一篇博客来给出我们的解决方案，供大家参考。本文所述算法的时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中|E|为边的数量。
2.概念
1)点和边
基础元素为点(地铁站)和边(两个相邻站之间的有向轨道)。
例如，经过莘庄站有1号线和5号线，含有莘庄站的边有4条，经过世纪大道站有4条线路，含有世纪大道站的边有8条。
2)运营段
在边的基础上，还有运营段的概念，即一组连续边的集合。
例如，1号线有莘庄-富锦路(发车间隔8分)、莘庄-上海火车站(发车间隔6分)、上海南站-富锦路(发车间隔8分)、上海南站-上海火车站(发车间隔6分)、富锦路-莘庄(发车间隔8分)、上海火车站-莘庄(发车间隔6分)等运营段。
3)代价
寻路算法的依据可以为时间、换乘次数、经过边数等任意非负代价，这里着重对时间进行建模。
每条边有一个乘坐时间代价，表示乘坐地铁经过该边所需要花费的时间。
每个运营段有一个等车时间代价，为通过该运营段中的边乘车需要等车的时间，通常可以假设为发车间隔时间(等车时间的最大值)或者发车间隔时间的一半(等车时间的数学期望)。
在每个点有一个换乘时间代价矩阵，表示在任意两条边之间换乘所需要花费的时间。两边之间的关系有直接连通、换乘、不连通三种。连通的换乘时间代价为0，换乘的换乘时间代价为换乘行走时间+等车时间，不连通的换乘时间代价为+∞。这个矩阵可以用稀疏矩阵表示，不连通的两边不出现。由于地铁的设计使得我们不需要考虑沿着某条线路折返的路线，我们可以将一边和它的相反边看做不连通而不是换乘，这样可以降低图的复杂度。
3.算法
1)思路
传统的最短路径算法很多，比如
Dijkstra算法，不过这种算法没有办法解决换乘时间代价问题。
广度优先算法，在加权图的时候无法得到最优解。
受限的深度优先算法，能得到结果，但路径比较长时算法时间过长。
我们可以考虑这样一个自然现象，雪水在山峰上融化，然后流经各个山谷。各站点就是山谷中的点，换乘站点就是山谷分成多股的交叉点。
假设起始点是山峰，水沿着各边扩散，经过一边的用时和边上的乘坐时间代价一样，从一边到一邻边，需要等待换乘时间代价。不停往起始点倒水，水不停流动，当水到达终止点时，水流经过的路径就是我们所需要的最短路径。
这个模型的问题在于水可以有多股水流同时流动，但是我们的算法应该有一个顺序，我们可以假设有一个水流切线，表示所有水流的最前端位置。任意边e，当其起点被水流所覆盖，而终点没有被水流覆盖时，将e加入按代价排序的切线边列表C(红黑树或平衡树实现)，并记录e->水流经过的上一边。继续让水流动，则C中的第一个边e的终点最先被水流所覆盖，从C中移除e。当到达寻路的终止点时，我们可以通过从最后一条边开始回溯上一边，再上一边的上一边，直到寻路的起点，这样就获得了所需要的路径。
算法也可以不在终点结束，而直到水流覆盖地图上的所有点，对性能并没有明显的影响。
2)例子
如图1所示：
图1(a) 时间代价 图1(b) 搜索顺序
为了简化问题，我们假设2号线(绿色)和9号线(水色)不存在，只考虑4号线(深蓝色)和6号线(紫红色)。
图1(a)中表示了4号线和6号线的边的时间代价，其中白色表示等车时间，黄色表示乘车时间。
我们假设每个换乘站，换乘时的行走时间为4分钟。
图1(b)表示了搜索顺序，对于相同的代价，其搜索顺序不定，由切线边列表C的实现决定。
例子中的起始点为世纪大道，终止点为上海儿童医学中心。
切线边列表C的变化如下
{1, 2, 3, 5}
{2, 3, 4, 5}
{3, 4, 5, 6}
{4, 5, 6, 9}
{5, 6, 7, 9}
{6, 7, 8, 9}
{7, 8, 9, 10, .., ..}
{8, 9, 10, .., .., ..}
{9, 10, .., .., .., ..}
{10, .., .., .., .., ..}
需要注意到消去6的时候，增加了10、(蓝村路, 塘桥)、9的反向边三条边，消去9的时候，增加了6的反向边。
消去9时，会再次搜索到10，此时的时间代价为13+4+8=25，但因为10已经记录了其上一边，所以不再加入C。
3)实现
伪代码如下：
record Vertex //点 InEdges:List<Edge> //进站边 OutEdges:List<Edge> //出站边 Connection:Map<Tuple<Edge, Edge>, EdgeConnection> //边连接矩阵，包含换乘行走时间代价，当不连接时不存在 record Edge //边 Start:Vertex //起点 End:Vertex //终点 Cost:Int //乘坐时间代价 Ranges:List<Range> //运营段 record Range //运营段 Edges:List<Edge> //边 Cost:Int //等车时间 taggedunion EdgeConnection Connected:Unit //直接连接 Transferable:Int //换乘，行走时间代价 CalculateRoute(Start:Vertex, End:Vertex):List<Edge> if Start == End return new List<Edge>() //起始点和终止点重合 let Previous <- new Map<Edge, Edge>() //边到上一边的映射 let cmp <- (Comparer<Edge>)(...) //路径代价比较函数，将在下面给出 let CutEdges <- new RedBlackTree<Edge>(cmp) //水流切线边列表 foreach o in Start.OutEdges CutEdges <- CutEdges + o Previous <- Previous + (o, null) let e <- (Edge)(null) //终边 while CutEdges.Count > 0 let i <- CutEdges.First CutEdges <- CutEdges - i let s <- i.End if s == End e <- i break foreach o in s.OutEdges if !s.Connection.ContainsKey((i, o)) continue if Previous.ContainsKey(o) continue Previous <- Previous + (o, i) CutEdges <- CutEdges + o if e == null return null //没有路径 let l <- new List<Edge>() while e != null l <- l + e e <- Previous(e) return l.Reverse()
下面为当寻路依据为时间时的比较函数
let Time <- new Map<Edge, Int>() let Range <- new Map<Edge, Range>() let GetBestRange <- l:List<Range> => l.OrderBy(r => r.Cost).First let GetTime <- e => if e == null return 0 if Time.ContainsKey(e) return Time(e) let p <- Previous(e) let v <- GetTime(p) if p != null let c <- e.Start.Connection((p, e)) if c | Connected -> let rgOld <- Range(p) let rg <- GetBestRange(p.Ranges.Intersect(e.Ranges)) Range <- Range + (e, rg) if rgOld != rg v <- v - rgOld.Cost + rg.Cost | Transferable t -> let rg <- GetBestRange(e.Ranges) Range <- Range + (e, rg) v <- v + rg.Cost + t else let rg <- GetBestRange(e.Ranges) Range <- Range + (e, rg) v <- v + rg.Cost v <- v + e.Cost Time <- Time + (e, v) return v let cmp <- (l:Edge, r:Edge) => return GetTime(l) - GetTime(r)
下面为当寻路依据为换乘次数时的比较函数
let TransferCount <- new Map<Edge, Int>() let GetTransferCount <- e => if e == null return 0 if TransferCount.ContainsKey(e) return TransferCount(e) let p <- Previous(e) let v <- GetTransferCount(p) if p != null let c <- e.Start.Connection((p, e)) if c | Connected -> () | Transferable _ -> v += 1 TransferCount <- TransferCount + (e, v) return v let cmp <- (l:Edge, r:Edge) => return GetTransferCount(l) - GetTransferCount(r)
下面为当寻路依据为经过边数时的比较函数
let StopCount <- new Map<Edge, Int>() let GetStopCount <- e => if e == null return 0 if StopCount.ContainsKey(e) return StopCount(e) let p <- Previous(e) let v <- GetStopCount(p) + 1 StopCount <- StopCount + (e, v) return v let cmp <- (l:Edge, r:Edge) => return GetStopCount(l) - GetStopCount(r)
4.算法复杂度
认为点的入站边和出站边很少，覆盖每条边的运营段很少，并注意到GetTime运行时递归的部分总会在Time变量中缓存，可知时间比较函数的复杂度为O(1)。
CutEdges的红黑树插入删除的复杂度为O(log|E|)。
所有边最多进出CutEdges一次，可知整个算法的复杂度为O(|E|log|E|)。
5.结果
本文所述算法能够在O(|E|log|E|)时间内快速得到全局最佳路径。
在1GHz的单CPU手机上实测得到的上海地铁(11条线路214站)任意两站点之间的寻路时间均为200ms以下。
最后还是介绍下我们的应用。
矢量地铁（上海版）
支持双指无极缩放、动态寻径效果、本地地图显示。虽然我们只是一个小团队，但我们只做最好的地铁图！如果大家有啥问题和建议，欢迎给我们留言！
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