最小生成树算法【图解】：一文带你理解什么是Prim算法和Kruskal算法

假设以下情景，有一块木板，板上钉上了一些钉子，这些钉子可以由一些细绳连接起来。假设每个钉子可以通过一根或者多根细绳连接起来，那么一定存在这样的情况，即用最少的细绳把所有钉子连接起来。
更为实际的情景是这样的情况，在某地分布着N个村庄，现在需要在N个村庄之间修路，每个村庄之前的距离不同，问怎么修最短的路，将各个村庄连接起来。
以上这些问题都可以归纳为最小生成树问题，用正式的表述方法描述为：给定一个无方向的带权图G=(V, E)，最小生成树为集合T, T是以最小代价连接V中所有顶点所用边E的最小集合。 集合T中的边能够形成一颗树，这是因为每个节点（除了根节点）都能向上找到它的一个父节点。

解决最小生成树问题已经有前人开道，Prime算法和Kruskal算法，分别从点和边下手解决了该问题。

Prim算法

Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中。Prim算法在找当前最近顶点时使用到了贪婪算法。

证明

从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。

每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。

然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。

重复 (n-1) 次即可。

证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。

基础：只有一个结点的时候，显然成立。

归纳：如果某一步成立，当前边集为 (F) ，属于 (T) 这棵 MST，接下来要加入边 (e) 。

如果 (e) 属于 (T) ，那么成立。

否则考虑 (T+e) 中环上另一条可以加入当前边集的边 (f) 。

首先， (f) 的权值一定不小于 (e) 的权值，否则就会选择 (f) 而不是 (e) 了。

然后， (f) 的权值一定不大于 (e) 的权值，否则 (T+e-f) 就是一棵更小的生成树了。

因此， (e) 和 (f) 的权值相等， (T+e-f) 也是一棵最小生成树，且包含了 (F) 。

算法描述：

1. 在一个加权连通图中，顶点集合V，边集合为E
2. 任意选出一个点作为初始顶点,标记为book,计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，标记book.
3. 重复以下操作，直到所有点都被标记为book：
   在剩下的点钟，计算与已标记book点距离最小的点，标记book,证明加入了最小生成树。

下面我们来看一个最小生成树生成的过程：
1 起初，从顶点a开始生成最小生成树

2 选择顶点a后，顶点a置成book（涂黑）,计算周围与它连接的点的距离：

3 与之相连的点距离分别为7,4，选择C点距离最短，涂黑C，同时将这条边高亮加入最小生成树：

4 计算与a,c相连的点的距离（已经涂黑的点不计算），因为与a相连的已经计算过了，只需要计算与c相连的点，如果一个点与a,c都相连，那么它与a的距离之前已经计算过了，如果它与c的距离更近，则更新距离值，这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的最近距离，很明显，b和a为7，b和c的距离为6，更新b和已访问的点集距离为6，而f,e和c的距离分别是8,9，所以还是涂黑b,高亮边bc：

5 接下来很明显，d距离b最短，将d涂黑，bd高亮：

6 f距离d为7，距离b为4，更新它的最短距离值是4，所以涂黑f，高亮bf：

7 最后只有e了：

针对如上的图,代码实例如下(配合注释理解)：

#include<iostream>
#define INF 10000
using namespace std;
const int N = 6;
bool book[N];
int dist[N] = { 0 };
int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF},   //INF代表两点之间不可达
                    {7,INF,6,2,INF,4},
                    {4,6,INF,INF,9,8},
                    {INF,2,INF,INF,INF,7},
                    {INF,INF,9,INF,INF,1},
                    {INF,4,8,7,1,INF}
};
int Prim(int cur) {//选择起始点
    int index = cur;
    int sum = 0;
    int i = 0;
    int j = 0;
    cout << index << " ";//输出index可以输出路径
    memset(book, false, sizeof(book));//初始化
    book[cur] = true;//标记初始点
    for (; i < N; ++i)
        dist[i] = graph[cur][i];//初始化，并令每个与cur点邻接点的距离存入dist
    for (i = 1; i < N; ++i) {
        int minor = INF;
        for (j = 0; j < N; ++j) {//找到与index相接的最短路径
            if (!book[j] && dist[j] < minor) {
                minor = dist[j];
                index = j;
            }
        }
        book[index] = true;
        cout << index << " ";
        sum += minor;
        for (j = 0; j < N; ++j) {//重新初始化dist，找到与index邻接的点
            if (!book[j] && dist[j] > graph[index][j])
                dist[j] = graph[index][j];
        }
    }
    cout << endl;
    return sum;//返回最小生成树的总路径值
}
int main() {
    //遍历每个点为起始点
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cout << Prim(i) << endl;
    //cout<<Prim(0) << endl;//从顶点0开始
    return 0;
}

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Kruskal算法

Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。

前置知识

并查集 、 贪心 、 图的存储 。

证明

思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 (n-1) 条边，即形成了一棵树。

证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。

基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。

归纳：假设某时刻成立，当前边集为 (F) ，令 (T) 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 (e) 。

如果 (e) 属于 (T) ，那么成立。

否则， (T+e) 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 (F) 的另一条边 (f) （一定只有一条）。

首先， (f) 的权值一定不会比 (e) 小，不然 (f) 会在 (e) 之前被选取。

然后， (f) 的权值一定不会比 (e) 大，不然 (T+e-f) 就是一棵比 (T) 还优的生成树了。

所以， (T+e-f) 包含了 (F) ，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。

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下面还是用一组图示来表现算法的过程：
1 初始情况，一个联通图，定义针对边的数据结构，包括起点，终点，边长度：

typedef struct _node{
    int val;   //长度
    int start; //边的起点
    int end;   //边的终点
}Node;

2 在算法中首先取出所有的边，将边按照长短排序，然后首先取出最短的边，将a,e放入同一个集合里，在实现中我们使用到了并查集的概念：

如果有小伙伴不懂并查集的话，请点传送门

3 继续找到第二短的边，将c, d再放入同一个集合里：

4 继续找，找到第三短的边ab，因为a,e已经在一个集合里，再将b加入：

5 继续找，找到b,e，因为b,e已经同属于一个集合，连起来的话就形成环了，所以边be不加入最小生成树：

6 再找，找到bc，因为c,d是一个集合的，a,b,e是一个集合，所以再合并这两个集合：

这样所有的点都归到一个集合里，生成了最小生成树。

根据上图实现的代码如下：

#include<iostream>
#define N 7
using namespace std;
struct Node {
    int val;   //长度
    int start; //边的起点
    int end;   //边的终点
};
Node V[N];
int cmp(const void *a, const void *b) {
    return (*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
}
//edge保存结点属性
int edge[N][3] = { { 0, 1, 3 },
                    { 0, 4, 1 },
                    { 1, 2, 5 },
                    { 1, 4, 4 },
                    { 2, 3, 2 },
                    { 2, 4, 6 },
                    { 3, 4, 7}
};
int father[N] = { 0 };
int cap[N] = { 0 };

//初始化集合，让所有的点都各成一个集合，每个集合都只包含自己
//并查集初始化，先令每个结点的父节点为自己
void make_set() {
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        father[i] = i;
        cap[i] = 1;//集合大小(势力大小)
    }
}

//递归寻找所属集合的父节点
//并且在寻找父节点的同时重置所属集合
int find_set(int x) {
    if (x != father[x])
        father[x] = find_set(father[x]);
    return father[x];
}

//将x,y合并到同一个集合
void Union(int x, int y) {
    x = find_set(x);
    y = find_set(y);
    if (x == y)
        return;
    if (cap[x] < cap[y])
        father[x] = find_set(y);
    else {//归左思想
        if (cap[x] == cap[y])
            cap[x]++;
        father[y] = find_set(x);
    }
}

int Kruskal(int n) {
    int sum = 0;
    make_set();
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        if (find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end)) {
            Union(V[i].start, V[i].end);
            sum += V[i].val;
        }
    }
    return sum;
}

int main() {
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        V[i].start = edge[i][0];
        V[i].end = edge[i][1];
        V[i].val = edge[i][2];
    }
    qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
    cout << Kruskal(0) << endl;
}

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除去这两种算法外还有——Boruvka 算法。

该算法的思想是前两种算法的结合。它可以用于求解 边权互不相同 的无向图的最小生成森林。（无向连通图就是最小生成树。）

介绍博文：Here