POJ 3185 The Water Bowls (高斯消元)

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题意：翻译过来就是20个0或1的开关，每次可以改变相邻三个的状态，问最小改变多少次使得所有开关都置为0，题目保证此题有解。

题解：因为一定有解，所以我们可以正序逆序遍历两次求出较小值即可。当然这题也可以用万能的高斯消元来做。给出两种代码。

暴力代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f;
int main()
{
    int a[30],b[30];
    while(scanf("%d",&a[0])!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<20;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
        memcpy(b,a,sizeof(b));
        int ans1=0,ans2=0;
        for(int i=0;i<20;i++)
        {
            if(a[i]==1)
            {
                if(i==19)
                {
                    ans1=inf;
                    break;
                }
                ans1++;
                a[i+1]^=1;
                a[i+2]^=1;
            }
        }
        for(int i=19;i>=0;i--)
        {
            if(b[i]==1)
            {
                if(i==0)
                {
                    ans2=inf;
                    break;
                }
                ans2++;
                b[i-1]^=1;//注意这里是逆序 是i-1 不是i+1
                b[i-2]^=1;//不要惯性思维
            }
        }
        printf("%d
",min(ans1,ans2));
    }
    return 0;
}

高消代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <ctime>
using namespace std;
const int maxn=300;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[maxn][maxn]; //增广矩阵
int x[maxn]; //解集
int free_x[maxn];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数
//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int gauss()
{
    int max_r,col,k;
    free_num=0;
    for(k=0,col=0; k<equ&&col<var; k++,col++)
    {
        max_r=k;
        for(int i=k+1; i<equ; i++)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                max_r=i;
        if(!a[max_r][col])
        {
            k--;
            free_x[free_num++]=col;
            continue;
        }
        if(max_r!=k)
            for(int j=col; j<var+1; j++)
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        for(int i=k+1; i<equ; i++)
        {
            if(a[i][col])
            {
                for(int j=col; j<var+1; j++)
                    a[i][j]^=a[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i=k; i<equ; i++)
        if(a[i][col])
            return -1;
    if(k<var) return var-k;
    for(int i=var-1; i>=0; i--)
    {
        x[i]=a[i][var];
        for(int j=i+1; j<var; j++)
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
    }
    return 0;
}
int n;
void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    equ=20;
    var=20; //20个变元
    for(int i=0;i<20;i++)
    {
        a[i][i]=1;
        if(i>0) a[i-1][i]=1;
        if(i<19) a[i+1][i]=1;
    }
}
int solve()
{
    int t=gauss();
    if(t==-1)
    {
        return -1;
    }
    else if(t==0)
    {
        int ans=0;
        for(int i=0; i<n*n; i++)
            ans+=x[i];
        return ans;
    }
    else
    {
        //枚举自由变元
        int ans=0x3f3f3f3f;
        int tot=(1<<t);
        for(int i=0; i<tot; i++)
        {
            int cnt=0;
            for(int j=0; j<t; j++)
            {
                if(i&(1<<j)) //注意不是&&
                {
                    x[free_x[j]]=1;
                    cnt++;
                }
                else x[free_x[j]]=0;
            }
            for(int j=var-t-1; j>=0; j--)
            {
                int idx;
                for(idx=j; idx<var; idx++)
                    if(a[j][idx])
                        break;
                x[idx]=a[j][var];
                for(int l=idx+1; l<var; l++)
                    if(a[j][l])
                        x[idx]^=x[l];
                cnt+=x[idx];
            }
            ans=min(ans,cnt);
        }
        return ans;
    }
}
int main()
{
    n=20;
    init();
    int data;
    for(int i=0;i<20;i++)
    {
        scanf("%d",&data);
        if(data) a[i][20]=1;
    }
    int ans=solve();
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}