数学相关
常系数线性齐次递推矩阵的特征多项式
常系数线性齐次递推中，若有
[f(n)=sum_{j=1}^ka_jf(n-j)
]
则有(k)阶转移矩阵(M)如下：
[M=egin{bmatrix}
0&0&0&...&a_k\
1&0&0&...&a_{k-1}\
0&1&0&...&a_{k-2}\
0&0&1&...&a_{k-3}\
...&...&...&...&...\
0 &0&...&1&a_1
end{bmatrix}
]
其中(M_{i,j-1}=1)（(2leq ileq k)），(M_{i,k}=a_{k-i+1})（(1leq ileq k)）
其特征多项式(f(lambda))为：
[f(lambda)=det(lambda I-M)=egin{bmatrix}
lambda&0&0&0&-a_k\
-1&lambda&0&0&-a_{k-1}\
0&-1&lambda&0&-a_{k-2}\
...&...&...&...&...\
0&0&...&-1&lambda-a_1
end{bmatrix}
]
其中(f(lambda)_{i,j-1}=-1)（(2leq ileq k)），(f(lambda)_{i,i}=lambda)（(1leq i< k)）
(f(lambda)_{k,k}=lambda-a_1)，(f(lambda)_{i,k}=-a_{k-i+1})（(1leq i < k)）
对(f(lambda))拉普拉斯展开化简得到
[f(lambda)=lambda^k-sum_{i=1}^ka_ilambda^{k-i}
]
二项式相关
二项式反演
对于两个函数(f)和(g)，
[f(n)=sum_{j=0}^n{n choose j}g(j)quad Leftrightarrowquad g(n)=sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}{nchoose j}f(j)
]
上指标反转
[{n choose m}=(-1)^m{m-n-1choose m}
]
组合数卷积求和
给定(n)，(a)，(b).
[sum_{i=0}^n{nchoose a}{n-i choose b}={n+1choose a+b+1}
]
组合意义解释：({n+1 choose a+b+1})相当于先枚举第(a+1)个球的位置(p)，然后再计算从([1,p))中选(a)个球、从((p,n+1])中选(b)个球的方案数。枚举(p)对应着枚举原式中的(i)如何分割(n)，而([1,p))选(a)和((p,n+1])选(b)分别对应了原式的两个组合数。
Lucas定理
[{ap+c choose bp+d}equiv{achoose b}{cchoose d} pmod{p}
]
递归计算，时间复杂度为(O(plog_pn))
莫比乌斯反演
[f(n)=sum_{d|n}g(d) quad Leftrightarrow quad g(n)=sum_{d|n}mu(frac n d)f(d)\
f(n)=sum_{n|d}g(d) quad Leftrightarrow quad g(n)=sum_{n|d}mu(frac d n )f(d)
]
斯特林数
第二类斯特林数通项公式
[egin{aligned}
egin{Bmatrix}n\mend{Bmatrix}&=frac 1 {m!}sum_{j=0}^m(-1)^j {mchoose j}(m-j)^n\
&=sum_{j=0}^m frac{(-1)^j}{j!(m-j)!}(m-j)^n
end{aligned}
]
自然数幂的斯特林数展开
[i^k=sum_{j=0}^k egin{Bmatrix} k \ j end{Bmatrix} {i choose j}j!
]
自然数幂求和
[egin{aligned}
Sum_k(n)&=sum_{i=1}^ni^k\
&=sum_{j=1}^kegin{Bmatrix}k\jend{Bmatrix}frac{{(n+1)}^underline{j+1}}{j+1}
end{aligned}
]