一句话题意
求(n)个带标号点能构成的简单无向图数目
考虑令(f[i])表示(i)个带标号点的简单无向图数目.
(f[n]=2^{C_n^2}-sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}*f[i]*2^{C_{n-i}^2})
两边同除((n-1)!)得
(frac{f[n]}{(n-1)!}=frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-frac{sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}*f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(n-1)!})
(=frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}-sum_{i=1}^{n-1}frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!})
简单移个项得
(frac{f[n]}{(n-1)!}+sum_{i=1}^{n-1}frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!}=frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!})
那么,
(sum_{i=1}^{n}frac{f[i]*2^{C_{n-i}^2}}{(i-1)!*(n-i)!}=frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!})
令
(A=sum_{i=1}^{infty}frac{f[i]}{(i-1)!}x^i)
(B=sum_{i=1}^{infty}frac{2^{C_{i}^2}}{i!}x^i)
(C=sum_{i=1}^{infty}frac{2^{C_n^2}}{(n-1)!}x^i)
(A*B=C)
我们要求(A(n)*(i-1)!)
(Aequiv C*B^{-1}(mod x^n))
多项式求逆即可