树上各种DFS姿势算法笔记

树是指由n个点，n-1条边构成的联通无向图。如果有一棵树，它的每一条边(u,v)都有一个权值l(u,v)，我们把这样的树称作带权树。
我们知道对于树上的任意两个点，他们之间的路径是唯一的。对于两个点u，v来说，我们可以算出u与v之间的路径上的所有边权之和，将其称作u与v之间路径的长度，记作d(u,v)。
你的任务是计算：∑d(u,v) (u!=v)

【输入文件】
输入文件的第一行为一个正整数n。
接下来的n-1行，每行三个非负整数x，y，w表示点x与点y之间有一条权值为w的一条边。
保证输入的图示一棵树。
【输出文件】
输出文件仅包含一行一个数，即答案。因为结果可能很大，请将答案模100 000 007输出
【输入样例】
4

1 2 4

1 3 4

1 4 4
【输出样例】
72
【样例解释】
d(1,2)+d(1,3)+d(1,4)=4+4+4=12

d(2,1)+d(2,3)+d(2,4)=4+8+8=20

d(3,1)+d(3,2)+d(3,4)=4+8+8=20

d(4,1)+d(4,2)+d(4,3)=4+8+8=20

ans=12+20+20+20=72

【数据范围】
n≤3×10^5 0≤w<1000000007

【分析】：
看n的范围肯定不能枚举……那么我们就换个角度，考虑每条边对答案的贡献！

首先随便选一个点作根，dfs出每个子树的size大小与deep深度,那么可以发现对于deep[v]=deep[u]+1的两点，他们之间的边l(u,v)在答案中会被选size[v]*(n-size[v])次，枚举每条边看看即可。最优因为点对是无序的，但是我们只是算了从u那一边选v，所以我们还要×2算从v那一边选u。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define N 1000001
#define mod 100000007
using namespace std;
ll n,ans,root,cnt,first[N],size[N],depth[N];
bool vis[N];
struct edge{int next,from,to;ll len;}e[N];
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
void add(int x,int y,int w)
{
	e[++cnt].next=first[x];
	e[cnt].from=x;
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].len=w;
	first[x]=cnt;
}
void dfs(int now)
{
	size[now]=1,vis[now]=true;
	for(int i=first[now];i;i=e[i].next)
	{
         int next=e[i].to;
         if(!vis[next])
         {
         	 depth[next]=depth[now]+1;
             dfs(next);
             size[now]+=size[next];
         }
	}
}
int main()
{
	int sizee = 50 << 20; //开50MB系统栈    
	char *p = (char*)malloc(sizee) + sizee;    
	__asm__("movl %0, %%esp
" :: "r"(p));
	//freopen("tree1.in","r",stdin);
	//freopen("tree.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x=read(),y=read(),w=read();
		add(x,y,w),add(y,x,w);
	}
	dfs(1);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
         int x=e[i].from,y=e[i].to;ll w=e[i].len;
         if(depth[y]==depth[x]+1)
         {
              ans+=(ll)(size[y]%mod*(n-size[y])%mod*(ll)w%mod);
              ans%=mod;
         }
    }
    cout<<ans*2ll%mod<<endl;
    return 0;
}

概念

树的dfs遍历就是对于一个树上每个点 root，它向下的多个分支，选择一个分支一直走下去，直至走完并**回溯**到root再走其他分支形成的遍历。

Code ``` void dfs(int u,int fa) { vis[u]=1; //邻接表枚举i的每个相邻节点 for(int i=link[u]; i; i=e[i].next) { int v = e[i].u; if(v!=fa) dfs(v,u); } } ```

求树的深度

每个节点x的深度用deep[x]表示。 代码只要在dfs向下搜索前deep[e[i].y]=deep[x]+1;

求子树大小

以x节点为根节点的子树大小size[x]； 在dfs向下搜索之后size[x]+=size[e[i].y];

树的重心

对于一个节点x，如果把它从树中删除，原来的一棵树可能会分成若干个不相连的部分，每部分都是一颗子树。 设 Maxp(x)表示在删除节点x后分成的子树中，包含节点最多的那颗子树的节点数。 对于所有点来说，如果使得Maxp(x)最小的节点x就成为整颗树的重心。

int pos;//记录重心的编号
void dfs(int x,int fa)
{
    v[x]=1;
    sz[x]=1;
    int Maxp=0;
    //邻接表枚举i的每个相邻节点
    for(int i=link[x]; i; i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].y;
        if(y!=fa)
        {
            dfs(y,x);
            sz[x]+=sz[y];
            Maxp=max(Maxp,sz[y]);
        }
    }
    Maxp=max(Maxp,n-sz[x]);
    if(Maxp<ans)
    {
        ans=Maxp;
        pos=x;
    }
}

树的DFS序就是在对树进行DFS的时候，对树的节点进行重新编号； DFS序有一个很强的性质: 一颗子树的所有节点在DFS序内是连续的一段, 利用这个性质我们可以解决很多问题。 ``` void DFS(int u, int fa) { L[u] = ++dfs_clock; for(int k = head[u]; ~k; k = E[k].next) { int v = E[k].to; if(v == fa) continue; DFS(v, u); } R[u] = dfs_clock; } ```