[CSP-S模拟测试ex]题解

爆零了。少特判见祖宗。还好这场不计入总分。

考场上什么都没想。感觉考试状态又回到了两个月前。

A.Antipalindrome

手玩样例，不难发现题目中要求的合法串的充要条件是：对于任意$i in [2,n]$，有$ s[i] eq s[i-1] and s[i-1] eq s[i+1]$

那么第一个位置有$m$种选择，第二个位置有$m-1$种，第三个位置往后都有$m-2$种。

$ans=m(m-1)(m-2)^{n-2}$

注意特判。如果判少会直接爆0。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
int T;
ll n,m;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res=1;a=a%mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void work()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    m%=mod;
    if(m==1)
    {
        if(n==1)puts("1");
        else puts("0");
        return ;
    }
    if(n==1)
    {
        cout<<m<<endl;
        return ;
    }
    ll ans=m*(m-1)%mod;
    ans*=qpow(m-2,n-2),ans%=mod;
    cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)work();
    return 0;
}

B.Randomwalking

明显的换根dp。设$f[x]$表示x的子树对答案的贡献，$g[x]$表示x子树之外的部分对答案的贡献。那么$f[]$可以先用一遍dfs求得，然后在换根过程中求$g[]$顺便统计答案。

设$son[x]$为x的儿子数，显然这个要对根节点特判一下。那么可得$f[x]=a[x]+sum frac{f[y]}{son[x]}$，y是x的儿子。

然后考虑怎么换根。设fa为x的父亲，方程为$g[x]=frac{g[fa]+(f[fa]-a[fa])*son[fa]-f[x]}{son[fa]}+a[fa]$。

解释一下，$(f[fa]-a[fa])*son[fa]$

相当与先还原出 $sum f[s]$    (s为fa的儿子，包括x)，

然后去掉$f[x]$的贡献，把剩下的作为x外部的点重新计算入$g[x]$。

最后统计答案的时候要比较的是$frac{g[x]+(f[x]-a[x])*son[x]}{son[x]+1}+a[x]$，也相当与一个还原的过程。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N=1e6+5;
const double inf=9999999999999.0;
typedef long long ll;
int n,a[N];
int to[N<<1],head[N],nxt[N<<1],tot,deg[N],minn;
double dp[N],g[N],minx=inf;
void add(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    deg[x]++;
}
void dfs1(int x,int f)
{
    dp[x]=a[x];
    int d=f?deg[x]-1:deg[x];
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;
        dfs1(y,x);
        dp[x]+=dp[y]/(1.0*d);
    }
}
void dfs2(int x,int f)
{
    int df=(f==1?deg[f]:deg[f]-1);
    g[x]=(g[f]+(dp[f]-a[f])*df-dp[x])/df+a[f];
    double now=(g[x]+(dp[x]-a[x])*(deg[x]-1))/deg[x]+a[x];
    if(minx>now)minx=now,minn=x;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        if(to[i]!=f)dfs2(to[i],x);
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);
    minx=dp[1],minn=1;
    for(int i=head[1];i;i=nxt[i])
        dfs2(to[i],1);
    cout<<minn<<endl;
    return 0;
}

C.String

记录一下每个原来的位置被翻转到了哪里，用并查集维护一定相同的位置对应关系。如果一个联通块中有一个确定了，那么就都确定了。对于剩下的'?'，用26进制的思想逐位填。

区间反转上Splay。卡常。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define re register
using namespace std;

const int L=1<<20|1;
char buffer[L],*S,*T;
#define getchar() ((S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T))?EOF:*S++)

const int N=5e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
int n,m,a[N],b[N],tot,fa[N],vis[N],unsu[N],cnt;
ll K;
char str[N],s[N];
inline int rint()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline ll rll()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void read(char x[])
{
    char ch=getchar();int now=0;
    while(ch!='?'&&(ch>'z'||ch<'a'))ch=getchar();
    while(ch=='?'||(ch>='a'&&ch<='z'))x[++now]=ch,ch=getchar();
}

int findf(int x)
{
    if(fa[x]==x)return x;
    return fa[x]=findf(fa[x]);
}
namespace Splay
{
    int fa[N],son[N][3],size[N],key[N],v[N],type,root;
    inline bool judge(int x){return son[fa[x]][1]==x;}
    inline void up(int x){size[x]=size[son[x][0]]+size[son[x][1]]+1;}
    inline void down(int x)
    {
        if(x&&v[x])
        {
            v[son[x][0]]^=1;v[son[x][1]]^=1;
            swap(son[x][0],son[x][1]);v[x]=0;
        }
    }
    inline void rotate(int x)
    {
        int old=fa[x],oldf=fa[old],lr=judge(x);
        down(old);down(x);
        son[old][lr]=son[x][lr^1];
        fa[son[old][lr]]=old;
        son[x][lr^1]=old;fa[old]=x;
        fa[x]=oldf;
        if(oldf)son[oldf][son[oldf][1]==old]=x;
        up(old);up(x);
    }
    inline void splay(int x,int goal)
    {
        for(int f;(f=fa[x])!=goal;rotate(x))
            if(fa[f]!=goal)
                rotate(judge(x)==judge(f)?f:x);
        if(!goal)root=x;
    }
    int build(int f,int l,int r)
    {
        if(l>r)return 0;
        int mid=l+r>>1,x=++type;
        key[x]=a[mid];fa[x]=f;
        v[x]=0;
        son[x][0]=build(x,l,mid-1);
        son[x][1]=build(x,mid+1,r);
        up(x);
        return x;
    }
    inline int getrank(int x)
    {
        int now=root;
        while(1)
        {
            down(now);
            if(x<=size[son[now][0]])now=son[now][0];
            else
            {
                x-=size[son[now][0]]+1;
                if(!x)return now;
                now=son[now][1];
            }
        }
    }
    inline void rev(int l,int r)
    {
        l=getrank(l),r=getrank(r+2);
        splay(l,0);splay(r,l);
        down(root);
        v[son[son[root][1]][0]]^=1;
    }
    void print(int now)
    {
        down(now);
        if(son[now][0])print(son[now][0]);
        if(key[now]!=-inf&&key[now]!=inf)b[++tot]=key[now];
        if(key[son[now][1]])print(son[now][1]);
    }
}
int main()
{
    n=rint();m=rint();K=rll();
    read(str);
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=a[i+1]=i;
    a[1]=-inf;a[n+2]=inf;
    Splay::root=Splay::build(0,1,n+2);
    for(re int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l=rint(),r=rint();
        Splay::rev(l,r);
    }
    Splay::print(Splay::root);
    /*for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<b[i]<<' ';
    puts(" ");*/
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fx=findf(b[i]),fy=findf(i);
        if(fx==fy)continue;
        if(str[fy]=='?')str[fy]=str[fx];
        fa[fx]=fy;
    }
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fx=findf(i);
        s[i]=str[fx];
        if(s[i]=='?'&&!vis[fx])vis[fx]=1,unsu[++cnt]=fx;
    }
    K--;int now=cnt;
    while(K)
    {
        str[unsu[now]]='a'+K%26;
        now--;
        K/=26;
    }
    while(now>0)str[unsu[now]]='a',now--;
    for(re int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(s[i]=='?')s[i]=str[findf(i)];
        putchar(s[i]);
    }
    putchar('
');
    return 0;
}