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BZOJ 2179 FFT快速傅立叶题解

bzoj 2179

Description
给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。

【题目分析】

高精裸题。练手。

【代码】

1、手动高精

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 #define MAXN 5000
 5 char a_s[MAXN],b_s[MAXN];
 6 int a_len,b_len,i,c[MAXN][MAXN],k,j,sum[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
 7 int sumlen()
 8 {
 9     int nu=0;
10     for(int ii=a_len+b_len;ii>=1;ii--)
11         if(sum[ii])break;
12         else nu++;
13     return a_len+b_len-nu;
14 }
15 int main()
16 {
17     int n;cin>>n;
18     scanf("%s%s",&a_s,&b_s);
19     if(!strcmp(a_s,"0")||!strcmp(b_s,"0")){printf("0
");return 0;}
20     memset(a,0,sizeof(a));
21     memset(b,0,sizeof(b));
22     a_len=strlen(a_s);
23     b_len=strlen(b_s);
24     for(i=0;i<a_len;i++)a[a_len-i]=a_s[i]-'0';
25     for(i=0;i<b_len;i++)b[b_len-i]=b_s[i]-'0';
26     memset(c,0,sizeof(c));
27     for(i=1;i<=b_len;i++)
28     {
29         k=0;
30         for(j=1;j<=a_len;j++)
31         {
32             c[i][j+i-1]=a[j]*b[i]+k;
33             k=c[i][j+i-1]/10;
34             c[i][j+i-1]%=10;
35         }
36         c[i][a_len+i]+=k;
37     }
38     memset(sum,0,sizeof(sum));
39     for(i=1;i<=b_len;i++)
40     {
41         k=0;
42         for(j=1;j<=a_len+b_len;j++)
43         {
44             sum[j]=sum[j]+c[i][j]+k;
45             k=sum[j]/10;
46             sum[j]%=10;
47         }
48         sum[sumlen()+1]+=k;
49     }
50     for(i=sumlen();i>=1;i--)printf("%d",sum[i]);
51     putchar('
');
52     return 0;
53 }

手动高精

2、重载运算符

  1 #include<iostream> 
  2 #include<string> 
  3 #include<iomanip> 
  4 #include<algorithm> 
  5 using namespace std; 
  6 
  7 #define MAXN 9999
  8 #define MAXSIZE 10
  9 #define DLEN 4
 10 
 11 class BigNum
 12 { 
 13 private: 
 14     int a[500];    //可以控制大数的位数 
 15     int len;       //大数长度
 16 public: 
 17     BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数
 18     BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数
 19     BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数
 20     BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数
 21     BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
 22 
 23     friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符
 24     friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符
 25 
 26     BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 
 27     BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 
 28     BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 
 29     BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算
 30 
 31     BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算
 32     int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
 33     bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较
 34     bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较
 35 
 36     void print();       //输出大数
 37 }; 
 38 BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数
 39 { 
 40     int c,d = b;
 41     len = 0;
 42     memset(a,0,sizeof(a));
 43     while(d > MAXN)
 44     {
 45         c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1); 
 46         d = d / (MAXN + 1);
 47         a[len++] = c;
 48     }
 49     a[len++] = d;
 50 }
 51 BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数
 52 {
 53     int t,k,index,l,i;
 54     memset(a,0,sizeof(a));
 55     l=strlen(s);   
 56     len=l/DLEN;
 57     if(l%DLEN)
 58         len++;
 59     index=0;
 60     for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)
 61     {
 62         t=0;
 63         k=i-DLEN+1;
 64         if(k<0)
 65             k=0;
 66         for(int j=k;j<=i;j++)
 67             t=t*10+s[j]-'0';
 68         a[index++]=t;
 69     }
 70 }
 71 BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数
 72 { 
 73     int i; 
 74     memset(a,0,sizeof(a)); 
 75     for(i = 0 ; i < len ; i++)
 76         a[i] = T.a[i]; 
 77 } 
 78 BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算
 79 {
 80     int i;
 81     len = n.len;
 82     memset(a,0,sizeof(a)); 
 83     for(i = 0 ; i < len ; i++) 
 84         a[i] = n.a[i]; 
 85     return *this; 
 86 }
 87 istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符
 88 {
 89     char ch[MAXSIZE*4];
 90     int i = -1;
 91     in>>ch;
 92     int l=strlen(ch);
 93     int count=0,sum=0;
 94     for(i=l-1;i>=0;)
 95     {
 96         sum = 0;
 97         int t=1;
 98         for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)
 99         {
100             sum+=(ch[i]-'0')*t;
101         }
102         b.a[count]=sum;
103         count++;
104     }
105     b.len =count++;
106     return in;
107 
108 }
109 ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符
110 {
111     int i;  
112     cout << b.a[b.len - 1]; 
113     for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)
114     { 
115         cout.width(DLEN); 
116         cout.fill('0'); 
117         cout << b.a[i]; 
118     } 
119     return out;
120 }
121 
122 BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算
123 {
124     BigNum t(*this);
125     int i,big;      //位数   
126     big = T.len > len ? T.len : len; 
127     for(i = 0 ; i < big ; i++) 
128     { 
129         t.a[i] +=T.a[i]; 
130         if(t.a[i] > MAXN) 
131         { 
132             t.a[i + 1]++; 
133             t.a[i] -=MAXN+1; 
134         } 
135     } 
136     if(t.a[big] != 0)
137         t.len = big + 1; 
138     else
139         t.len = big;   
140     return t;
141 }
142 BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算 
143 {  
144     int i,j,big;
145     bool flag;
146     BigNum t1,t2;
147     if(*this>T)
148     {
149         t1=*this;
150         t2=T;
151         flag=0;
152     }
153     else
154     {
155         t1=T;
156         t2=*this;
157         flag=1;
158     }
159     big=t1.len;
160     for(i = 0 ; i < big ; i++)
161     {
162         if(t1.a[i] < t2.a[i])
163         { 
164             j = i + 1; 
165             while(t1.a[j] == 0)
166                 j++; 
167             t1.a[j--]--; 
168             while(j > i)
169                 t1.a[j--] += MAXN;
170             t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i]; 
171         } 
172         else
173             t1.a[i] -= t2.a[i];
174     }
175     t1.len = big;
176     while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)
177     {
178         t1.len--; 
179         big--;
180     }
181     if(flag)
182         t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];
183     return t1; 
184 } 
185 
186 BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算 
187 { 
188     BigNum ret; 
189     int i,j,up; 
190     int temp,temp1;   
191     for(i = 0 ; i < len ; i++)
192     { 
193         up = 0; 
194         for(j = 0 ; j < T.len ; j++)
195         { 
196             temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up; 
197             if(temp > MAXN)
198             { 
199                 temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1); 
200                 up = temp / (MAXN + 1); 
201                 ret.a[i + j] = temp1; 
202             } 
203             else
204             { 
205                 up = 0; 
206                 ret.a[i + j] = temp; 
207             } 
208         } 
209         if(up != 0) 
210             ret.a[i + j] = up; 
211     } 
212     ret.len = i + j; 
213     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
214         ret.len--; 
215     return ret; 
216 } 
217 BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算
218 { 
219     BigNum ret; 
220     int i,down = 0;   
221     for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)
222     { 
223         ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b; 
224         down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b; 
225     } 
226     ret.len = len; 
227     while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)
228         ret.len--; 
229     return ret; 
230 }
231 int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算    
232 {
233     int i,d=0;
234     for (i = len-1; i>=0; i--)
235     {
236         d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;  
237     }
238     return d;
239 }
240 BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算
241 {
242     BigNum t,ret(1);
243     int i;
244     if(n<0)
245         exit(-1);
246     if(n==0)
247         return 1;
248     if(n==1)
249         return *this;
250     int m=n;
251     while(m>1)
252     {
253         t=*this;
254         for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)
255         {
256             t=t*t;
257         }
258         m-=i;
259         ret=ret*t;
260         if(m==1)
261             ret=ret*(*this);
262     }
263     return ret;
264 }
265 bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较
266 { 
267     int ln; 
268     if(len > T.len)
269         return true; 
270     else if(len == T.len)
271     { 
272         ln = len - 1; 
273         while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)
274             ln--; 
275         if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])
276             return true; 
277         else
278             return false; 
279     } 
280     else
281         return false; 
282 }
283 bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较
284 {
285     BigNum b(t);
286     return *this>b;
287 }
288 
289 void BigNum::print()    //输出大数
290 { 
291     int i;   
292     cout << a[len - 1]; 
293     for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)
294     { 
295         cout.width(DLEN); 
296         cout.fill('0'); 
297         cout << a[i]; 
298     } 
299     cout << endl;
300 }
301 int main(void)
302 {
303     int i,n;
304     BigNum x，y;      //定义大数的对象数组
305     cin>>n;
306                 cin>>x>>y;
307                 x=x*y;
308     x.print();
309                 return 0;
310 }

重载运算符

3、快速傅里叶变换（FFT）{p.s.其实并不会。有一位巨神提供的代码。以后慢慢学。}

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const double pi=acos(-1.0);
 4 int rev[200001],ans[200001],len,n,m;
 5 char s[200001];
 6 struct P
 7 {
 8     double x,y;
 9     inline P operator +(P a) {return (P){x+a.x,y+a.y};}
10     inline P operator -(P a) {return (P){x-a.x,y-a.y};}
11     inline P operator *(P a) {return (P){x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x};}
12 }a[200001],b[200001],c[200001];
13 inline void fft(P *x,int n,int flag)//快速傅立叶变换
14 {
15     for (int i=0;i<n;++i) if (rev[i]>i) swap(x[rev[i]],x[i]);
16     for(int m=2;m<=n;m<<=1)
17     {
18         P wn=(P){cos(2.0*pi/m*flag),sin(2.0*pi/m*flag)};
19         for(int i=0;i<n;i+=m)
20         {
21             P w=(P){1.0,0};int mid=m>>1;
22             for (int j=0;j<mid;++j)
23             {
24                 P u=x[i+j],v=x[i+j+mid]*w;
25                 x[i+j]=u+v;x[i+j+mid]=u-v;
26                 w=w*wn;
27             }
28         }
29     }
30 }
31 int main()
32 {
33     scanf("%d",&n);
34     scanf("%s",s);for (int i=0;i<n;++i) a[i].x=s[n-i-1]-'0';
35     scanf("%s",s);for (int i=0;i<n;++i) b[i].x=s[n-i-1]-'0';
36     m=1;n=n*2-1;
37     while (m<=n) m<<=1,len++; n=m;
38     for (int i=0;i<n;++i)
39     {
40         int t=i,ret=0;
41         for (int j=1;j<=len;++j) ret<<=1,ret|=t&1,t>>=1;
42         rev[i]=ret;
43     }
44     fft(a,n,1);fft(b,n,1);//转过去 
45     for (int i=0;i<n;++i) c[i]=a[i]*b[i];//高效率高精度 
46     fft(c,n,-1);//又回来 
47     for (int i=0;i<n;++i) ans[i]=(c[i].x/n)+0.5;//精度误差 
48     for (int i=0;i<n;++i) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;//进位 
49     n++;
50     while (!ans[n]&&n) n--;//确定第一个数的位置 
51     for (int i=n;i>=0;--i) putchar(ans[i]+'0');//输出 
52 }

FFT

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