一、树状数组是干什么的？
平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候， 对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的 情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这 个学过数学的都知道吧，不需要我说了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。
二、树状数组怎么干的？
先看两幅图（网上找的，如果雷同，不要大惊小怪～），下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图吧，右边的叫B图：
是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了～先看A图，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当 作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会 产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被lg了呢？可以 看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为 二直到不能分，可以看看B图。怎么样？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，关键是她的巧妙！
她又是怎样做到不断的一分为二呢？说这个之前我先说个叫lowbit的东西，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比 如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非 常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的 二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，继续下 面。介于下面讨论十进制已经没有意义（这个世界本来就是二进制的，人非要主观的构建一个十进制），下面所有的数没有特别说明都当作二进制。
上面那么多文字说lowbit，还没说它的用处呢，它就是为了联系a数组和c数组的！ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和，比如 c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了0010个数的和，因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有 低位的1起作用，因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用 （基于我们的二分规则它必须如此！），除非除了高位其余位都是0，这时本身就是lowbit。
既然关系建立好了，看看 如何实现a某一个位置数据跟改的，她不会直接改的（开始就说了，a根本不存在），她每次改其实都要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很 简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，但是你可能会问，他们之间 有申明必然联系吗？每次求解总不能总要拿图来看吧？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，又是自己造的词 --''，我来解释下，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因 为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。
好吧，现在更新的次序都有了，可能又会产生新的疑问了：为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边 和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以 看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生 两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。
可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直 接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。此时我们就是写出跟新维护树的代码：
1 void add(int k,int num) 2 { 3 while(k<=n) 4 { 5 tree[k]+=num; 6 k+=k&-k; 7 } 8 }
有了上面的基础，说求和就比较简单了。比如求0001～0110的和就直接c[0100]+c[0110]，分析方法与上面的恰好逆过来，而且写法也是逆过来的，具体就不累述了：
1 int read(int k)//1~k的区间和 2 { 3 int sum=0; 4 while(k) 5 { 6 sum+=tree[k]; 7 k-=k&-k; 8 } 9 return sum; 10 }
三、总结一下吧
首先，明白树状数组所白了是按照二分对数组进行分组；维护和查询都是O(lgn)的复杂度，复杂度取决于最坏的情况，也是O(lgn);lowbit这里 只是一个技巧，关键在于明白c数组的构成规律;分析的过程二进制一定要深入人心，当作心目中的十进制。
（参考：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868）
【模板】{代码}
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 #include<queue> 7 #include<cstdlib> 8 #include<iomanip> 9 #include<cassert> 10 #include<climits> 11 #define maxn 100001 12 #define F(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++) 13 #define M(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 14 #define FF(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--) 15 #define inf 0x7fffffff 16 #define maxm 21 17 //#define LOCAL 18 using namespace std; 19 int read(){ 20 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 21 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 22 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} 23 return x*f; 24 } 25 int n,m; 26 int a[maxn],c[maxn]; 27 int last[maxn]; 28 inline int lowbit(int x) 29 { 30 return x&-x; 31 } 32 inline void add(int k,int num) 33 {//建树&增加常数 34 last[k]+=num; 35 while(k<=n) 36 { 37 c[k]+=num; 38 k+=lowbit(k); 39 } 40 // F(i,1,n)cout<<c[i]<<" ";cout<<endl; 41 return; 42 } 43 inline void add_interval(int l,int r,int k) 44 {//区间增减【慢】（nlogn） 45 F(i,l,k){ 46 last[i]+=k; 47 } 48 F(i,l,r){ 49 add(i,k); 50 } 51 // F(i,1,n)cout<<c[i]<<" ";cout<<endl; 52 return; 53 } 54 inline void change(int x,int y) 55 {//单点修改 56 int aa,bb; 57 aa=last[x];//cout<<aa<<endl; 58 y=y-aa;//cout<<y<<endl; 59 add(x,y);//cout<<y<<endl; 60 // F(i,1,n)cout<<c[i]<<" ";cout<<endl; 61 return; 62 } 63 inline int query_pro(int k) 64 {//求前缀和 65 int sum=0; 66 while(k) 67 { 68 sum+=c[k]; 69 k-=lowbit(k); 70 } 71 return sum; 72 } 73 inline int query_single(int k) 74 {//单点查询 75 int sum=0; 76 sum=query_pro(k)-query_pro(k-1); 77 return sum; 78 } 79 inline int query_sum(int l,int r) 80 {//区间求和 81 int sum=0; 82 sum=query_pro(r)-query_pro(l-1); 83 return sum; 84 } 85 int main() 86 { 87 std::ios::sync_with_stdio(false);//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(1)<<y; 88 #ifdef LOCAL 89 freopen("data.in","r",stdin); 90 freopen("data.out","w",stdout); 91 #endif 92 cin>>n; 93 F(i,1,n){ 94 cin>>a[i]; 95 add(i,a[i]); 96 } 97 /* 98 int opt,x,y,z; 99 while(1) 100 { 101 cin>>opt; 102 switch(opt) 103 { 104 case 1:cin>>x>>y;add(x,y);break; 105 case 2:cin>>x>>y>>z;add_interval(x,y,z);break; 106 case 3:cin>>x>>y;change(x,y);break; 107 case 4:cin>>x;cout<<query_single(x)<<endl;break; 108 case 5:cin>>x;cout<<query_pro(x)<<endl;break; 109 case 6:cin>>x>>y;cout<<query_sum(x,y)<<endl;break; 110 } 111 } */ 112 return 0; 113 }