欧拉函数

内容：计算一个数内的与这个数互质元素的个数

每个数都能被分解成若干质数的乘积

设p1^a1×p2^a2×…×pk^ak为正整数n的素数乘积式，

那么这个正整数的互质元素个数为：

=n×(1-1/p1) ×(1-1/p2)×…×(1-1/pk)

也为：

int eular(int n)
{int k,res;
 k=2; res=n;
 while (k*k<=n){
    if (n%k==0){
          res=res/k*(k-1);
          while (n%k==0) n/=k;
    } 
      k++;
 }
 if (n>1) res=res/n*(n-1);//40的例子中 5会到这里来
 return res;
} 
        

求1-n之间所有正整数的欧拉函数

void eular(int n){
for(int i=2;i<=n;i++){
   if (!IsPrime[i]){prime[++cnt]=i;  phi[i]=i-1;}
   for(int j=1;j<=cnt;j++){
       if (prime[j]*i>n) break;
       Isprime[prime[j]*i]=1;
       if (i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];  break;}
       else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
   }
}
} 

例题：

1.

给出一个数字m (1 <= m <= 1000000), 数字K (1 <= K <= 100000000).求与M互质的第K个数字。

找到规律了吗？

假设一个数是12

比12小的且与12互质的是 1      5      7      11

更大的是这么多：　　　  13   17    19     23

　　　　　　　　　　　   25   29    31     35

这样的话，只用找出比n小的欧拉分别为多少，个数有多少，然后加自己加自己加自己......

为什么？

因为一个数a与n互质，那a+n与n也互质啊。

 

2.

给定一个整数N，你需要求出∑Gcd(i, N)(1<=i <=N)。//最大公约数之和

比如n=6时：

因为6的因数是1,2,3,6，所以n和小于n的数，两者的公约数只有可能在1,2,3,6里取。所以就算出每个公约数对应的个数就好了

如果对于数字i，如果Gcd( i ,6)=1,则转化求与6互质的数字有多少个，易知有2个，为1和5；

如果对于数字i，如果Gcd( i ,6)=2,则转化求与3互质的数字有多少个，易知有2个，为1和2；

　　　　　　　为什么？我们设i=2*a,6=2*3,那Gcd（a，3）=1,即转换成与三互质的数的个数。

如果对于数字i，如果Gcd( i ,6)=3,则转化求与2互质的数字有多少个，易知有1个，为1；

如果对于数字i，如果Gcd( i ,6)=6,则转化求与1互质的数字有多少个，易知有1个，为1。

Ans=2*1+2*2+3*1+6*1

      =2+4+3+6

      =15

 

欧拉函数的性质：

　　积性函数：对于所有互质的整数a和b有f(a*b)=f(a)*f(b)的数论函数。

1：如果n为某一素数p，则fy(p)=p-1

2:欧拉函数是积性函数，即当(m,n)=1，fy(m*n)=fy(m)*fy(n)

3:如果p|n,且p^2|n,则fy(n)= fy(n/p)*p,

　　因为n和n/p包含相同的质因子，只是P的指数不一样，因而按欧拉函数的计算公式写出，两者相除，商为P。

　　易知如果n为某一素数p的幂次p^a，fy(p^a)=(p-1)×p^(a-1)

4:如果p|n,且p^2|n不成立时,则p与n/p互质，于是j(n)= fy(n/p)*(p-1)

5:与N互质的数字和为n*fy(n)/2，因为gcd(n,x)=gcd(n,n-x)

6:n是奇数时，fy（2n）=fy（n）