背包问题

背包问题是一种动态规划问题

问题是给你背包容量和物品的花费、价值，不一定要将背包装满，问怎样装才可以使价值最大

背包问题可分为01，完全，多重，混合，分组（互斥），二维费用，依赖

一：01背包：

！！！每个物品只有一件，而且v的列举需要倒序

将n个物品放入容量为v的背包，每件物品花费w、价值c都已给出。

每个物品只有一件，可以选择放或者不放

用f[j]表示物品放入j的容量时可获得的最大价值

f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])//放或者不放的情况比较

有个大大的注意点：第二层循环体积时应该从v-0！！

为什么？我们画个图来解决

横行是物品，纵列是容量

w[i]      j-w[i]       j          v

E	D	C	F
	B	A

　

这是一个一维数组

根据状态转移方程

若-->更新，在更新A时，来源于B或者C，B是这一轮更新的值，C是上一轮更新的值，反正就是不能保证A是由上一个状态得到。

若<--更新，在更新A时，来源于B或者C，B由于还没有被更新，所以相当于B=D，也就是B还是上一轮的值，那就保证了A是由上一个状态得到。

初始条件：

不一定装满的初始状态：f[0-v]=0（要求最大值，初始化最小）

恰好装满的初始状态：f[0]=0,f[1~v]=-∞（状态不合法，0件物品无法恰好装满任意非0容量）

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v;j>=w[i];j--){
             f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
        }
    }

二.完全背包：

大致和01背包一样，不同点在于每件物品有无限件

第二层循环要顺序0-v了

为啥子？咱又来画个图

w[i]       j-w[i]     j           v

E	D	C	F
	B	A

 

 

 

更新A时，要么从C点，要么从D或B点更新是吧，

状态转移方程是：f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])//放或者不放的情况比较

就是即使是从B点更新过来也无所谓了，因为你物品有无限个嘛！

初始条件：f[0]=0;

for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=w[i];j<=v;j++){//重量是必须大于这个物品重量的 
             f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
        }
    }

三.多重背包：

大致和01一样，只是每种物品取的数量有限

转化为01背包即可：把一个物品里的取n件物品看成，取若干件不同的物品

若干件？总不能把他看成n件吧！那这个数据量好大哦。

其实可以应用二进制，就是说：

13=1+2+4+6

这4个数字可以构成1-13中每个数字，所以问题也没有太复杂，而且还转化成功了

    //比如 13=1+2+4+6
    //nu是最多取几件
        t=1;
        while(nu>=t){
            w[++n]=pr*t;//这一堆组成有几个物品 
                                  //这个物品的花费和价值要乘几
                                  //相当于捆绑销售
            c[n]=va*t;
            nu-=t;
            t=t*2;
        }
        //13中的6是在这里分 
        if(nu!=0){
            w[++n]=pr*nu;
            c[n]=va*nu; 
        }                 

四.混合背包

01+完全+多重

分类讨论即可

第二层for循环时，完全是0-v，01+多重是v-0

所以第二层循环时分类讨论就好

就加一个check数组判断他是01多重还是完全

 for(int i=1;i<=n;i++){
        if(check[i]==0) for(int j=w[i];j<=v;j++){
                            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
                        }
        else            for(int j=v;j>=w[i];j--){
                            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
                        }
    }

五.分组背包

物品被划分为若干组，每一组内物品互斥，最多选一件

在最内层加一个循环，循环的是这个组内的物品。

在最内层加可以保证一个组内只取一件物品

for(int i=1;i<=t;i++){//组数 
        for(int j=v;j>=0;j--){//容量 
            for(int k=1;k<=a[i][0];k++){//a[i][0]表示这个组内的物品个数
                if(j>=w[a[i][k]]){//容量肯定要大于这个物品才行
                    f[j]=max(f[j],f[j-w[a[i][k]]]+c[a[i][k]]);
                }   
            } 
        }
    }

六.二维费用的背包问题

每件物品不止一个花费

就像修房子需要花费人力和财力

那两个花费的最大值就是两个背包容量

类比前面，花费是v时有一层循环（不算循环物品个数/组数），dp数组为一维。

那两个花费就有两层循环，dp数组为二维

有时候物品总个数也是个限制，这个是隐含条件，也算作一个背包容量，每件物品个数费用为1