堆排序简介

堆排序

堆排序在我看来是一个比较难的排序算法，专门记录一下吧。

首先，先简单介绍一下堆这种结构。

堆排序，顾名思义，是利用堆这一数据结构进行的。堆是一种特殊的二叉树，其中每个元素都符合一定的规则。

最大堆：每一个父节点，都比两个子节点大。最小堆就是父节点比子节点小。

当然数组是是一段顺序表，并不是这样的结构，现在以最大堆为例，将图上每一个点编上号。序号为从上到下，从左到右。

不难看出最大堆的一种性质：每个节点的下标乘2，乘2+1所获得的下标就是该节点的两个子节点的下标

这时就可以把最大堆的性质用数学形式表现出来了。对于最大堆的每一个节点，都有(arr[i]>=arr[i*2]&&arr[i]>=arr[i*2+1])

从现在开始模拟一下堆排序的运行原理，其中还需要一些其他的函数，下面再说。

现在有一组元素已经按最大堆的方式排列就绪，从最后一个节点进行循环，直到只剩一个未经排序的节点为止。

对于每一个节点，将在堆顶的元素与当前节点交换。因为堆顶的元素是这个堆最大的元素，所以我们就找到了最大值的位置，并将它的值排在未经排序的序列的最后一个位置，也就是说排好了一个数据。

但是，经过交换后的堆，已经不满足最大堆的条件了，我们再用一个函数Adjust_Heap来将其重新恢复到最大堆的状态。接下来一直运行到循环结束为止。其实堆排序的主函数还是挺好写的。

void HeapSort(int *arr,int length)
{
	for (int i=length-1;i>1;i--)
	{
		swap(arr[i],arr[1]);
		HeapAdjust(arr,1,i-1);
	}
	/*for (int i=0;i<length;i++)//前移后面有解释
		arr[i]=arr[i+1];*/
}

不过有两个问题。

1. 怎么实现Adjust_Heap？
2. 怎么把一个不满足最大堆的数组转换为最大堆？

第二个问题是依靠第一个问题的Adjust_Heap函数来实现的，先来看Adjust_Heap的工作原理。

Adjust_Heap如上文所述，是用来恢复最大堆的。再具体一点，这个函数需要知道当前不符合最大堆元素的位置，进行恢复的数据的范围。（后者很显而易见，不能把已经排好序的数字当作未排序的又放回原来位置吧）

这个函数的运行机制就是从给定的父节点开始，从两个子节点中选取最大的一个，并比较父节点与较大的子节点，如果父节点是最大的，说明已经处理完毕；否则交换这两个节点，继续向下比较。

void HeapAdjust(int *arr,int top,int range)//arr为数组首地址，top为需要进行恢复的元素下标，range就是范围啦
{
	for (int i=top*2;i<=range;i*=2)//为什么是*2？因为要获得子节点的下标
	{
		if (i<range&&arr[i]<arr[i+1])
			i++;//找到两个子节点中最大的元素的下标
		if (arr[top]>=arr[i])
			break;//不需要交换就退出
		swap(arr[top],arr[i]);//父子节点交换
		top=i;//现在要处理的点就是子节点
	}
}

剩下的问题就只有一个了，如何将一个一般数组变换为最大堆的结构？这里我们用Initialize_Heap函数来实现。实现方式也很简单粗暴，对一半的数据都Adjust一遍就行了。

当然还是要解释一遍要对一半的数据进行调整。上面说过一个数据的下标*2就可以得到其子节点的下标，反过来说，只有这个数据的下标*2小于等于总数据个数的时候才会有子节点_{因此从有子节点的遍历处理一遍就好了}当然全部过一遍也没什么问题。

void InitHeap (int *arr,int length)
{
	/*for (int i=length;i>=1;i--)
		arr[i]=arr[i-1];//数组是从0开始的，后移一次方便处理。别忘了最后换回来*/
	for (int i=length/2;i>0;i--)
		HeapAdjust(arr,i,length);//暴力过一遍
}

堆排序就写完啦~