斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用。
公式:F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=2,F[0]=0,F[1]=1)
斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368........
这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。
特别指出:第1项是0,第2项是第一个1。
递推公式
斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N*),那么这句话可以写成如下形式::F(n)=F(n-1)+F(n-2)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D245/sign=456a7a09b61bb0518b24b42c037ada77/503d269759ee3d6db9e6f1e046166d224f4adefd.jpg)
(如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)
注:此时
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D210/sign=d590b15eb28f8c54e7d3c22e0a282dee/71cf3bc79f3df8dcabc1f821cb11728b46102885.jpg)
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D99/sign=ab723815922bd40746c7dff47b894919/42166d224f4a20a4e4759afa95529822720ed0a0.jpg)
通项公式推导
方法一:利用特征方程(线性代数解法)
线性递推数列的特征方程为:
解得
,
. 则
∵
∴
解得
时,有
,
的解为
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D75/sign=ce6769f7aa51f3dec7b2bb6194ee3932/d833c895d143ad4b8262e7fd87025aafa40f06ba.jpg)
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D87/sign=4d3d3ace7c310a55c024d3f3b745504e/242dd42a2834349bb930ceb8ccea15ce36d3bedd.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D86/sign=ad56328bcc177f3e1434f10b71cf6edc/8601a18b87d6277fe2b192052d381f30e924fc68.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D146/sign=4445051eb57eca8016053de3a7239712/9c16fdfaaf51f3de42db1a5991eef01f3a2979a6.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D108/sign=e9f55ab26981800a6ae58d0e893433d6/8694a4c27d1ed21b36598dd8a86eddc451da3f7e.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D230/sign=dc5833024efbfbedd859317c48f1f78e/6f061d950a7b0208fd039ddc67d9f2d3562cc8c1.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D139/sign=bd6a62ffb7119313c343fbb35c380c10/e61190ef76c6a7ef2032041bf8faaf51f3de66f3.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D275/sign=5cae971bbfa1cd1101b675278c13c8b0/ac4bd11373f08202fedde2144efbfbedab641b49.jpg)
设常数
,
.
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D9/sign=6eb6b7f8e5fe9925cf0c65603468dc/5bafa40f4bfbfbedfffb99427df0f736afc31f68.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D8/sign=e3a9aa43201f95caa2f59f86c949d8/2f738bd4b31c8701d5281ddb227f9e2f0708ff75.jpg)
使得
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D316/sign=d0e8c96bd5160924d825a41ae207359b/b8014a90f603738dcf62a21fb61bb051f819ece7.jpg)
则
,
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D55/sign=4d1e52e710ce36d3a60483353bf3f1e8/fc1f4134970a304e33b40ec7d4c8a786c9175c7c.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D49/sign=cd487ed0e21190ef05fb93d6cf1b20c2/9f510fb30f2442a7914e5398d443ad4bd113024e.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D36/sign=bb75327a3c12b31bc36ccb2f8718a1b9/9213b07eca806538c42f0a2e92dda144ac3482c2.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D328/sign=24eeb1f8e5fe9925cf0c6f520ca95ee4/7e3e6709c93d70cf25000330fddcd100baa12b10.jpg)
![](http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D353/sign=1cdc171e662762d0843ea2ba93ec0849/359b033b5bb5c9eaa0feabded039b6003af3b3fa.jpg)
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D353/sign=43c6c92114dfa9ecf92e501251d0f754/242dd42a2834349bb22ec5b8ccea15ce36d3bee7.jpg)
……
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D253/sign=84890322020828386c0ddb118b98a964/7acb0a46f21fbe09c8956b296e600c338644adc0.jpg)
联立以上n-2个式子,得:
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D301/sign=845e5df7aa51f3dec7b2bf64a5eef0ec/c8177f3e6709c93d69879bca9a3df8dcd1005491.jpg)
∵
,
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D57/sign=d6f8a2057ef40ad111e4c7e4562c86c5/b90e7bec54e736d1f3ad19359e504fc2d5626955.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D108/sign=90135d124434970a4373142fadcbd1c0/38dbb6fd5266d01631e40b15922bd40735fa3509.jpg)
上式可化简得:
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D175/sign=2f9ad83c0f55b31998f9867276a98286/7af40ad162d9f2d3d775b0d2acec8a136327cca3.jpg)
那么
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D175/sign=2f9ad83c0f55b31998f9867276a98286/7af40ad162d9f2d3d775b0d2acec8a136327cca3.jpg)
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D204/sign=b64d1116b551f819f525044aeeb44a76/58ee3d6d55fbb2fbcc49cf2f4a4a20a44623dca9.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D287/sign=928a0bdef81f4134e4370276121e95c1/80cb39dbb6fd5266e482aa29ae18972bd4073665.jpg)
……
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D383/sign=fb5ff3439758d109c0e3afbae258ccd0/9345d688d43f879482c9d813d71b0ef41bd53adc.jpg)
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D336/sign=2767b5355643fbf2c12ca020867eca1e/e4dde71190ef76c646d46b169816fdfaaf51678d.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D127/sign=f7f3d7c23ec79f3d8be1e0328da0cdbc/0e2442a7d933c895ef8d0a46d41373f08202001f.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D62/sign=1df04cc9b24543a9f11bf9ce1f17aca4/c8ea15ce36d3d53918e99dfe3f87e950352ab033.jpg)
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D55/sign=4d1e52e710ce36d3a60483353bf3f1e8/fc1f4134970a304e33b40ec7d4c8a786c9175c7c.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D49/sign=cd487ed0e21190ef05fb93d6cf1b20c2/9f510fb30f2442a7914e5398d443ad4bd113024e.jpg)
![](http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D156/sign=771dd1fdf236afc30a0c3b608519eb85/6f061d950a7b02080fa6a3dc67d9f2d3572cc8a4.jpg)
则
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D246/sign=42c5afe59c25bc312f5d069c68df8de7/3ac79f3df8dcd100d591820a778b4710b9122f8f.jpg)
关系
有趣的是,这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618)。
1÷1=1,1÷2=0.5,2÷3=0.666...,3÷5=0.6,5÷8=0.625…………,55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面,这些比值越接近黄金比.
证明
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到:
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在,设其极限为x,
则lim[n->;;∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->;;∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比..
平方与前后项
如:第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如从数列第二项1开始数,第4项5是奇数,但它是偶数项,如果认为5是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通)
证明经计算可得:[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
奇数项求和
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D273/sign=684eafbad554564ee165e33e80df9cde/fd039245d688d43fa68e025b751ed21b0ef43b77.jpg)
偶数项求和
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D253/sign=fa327b5d59da81cb4ae684c86167d0a4/8b82b9014a90f60324d10fee3112b31bb051ed32.jpg)
平方求和
![](http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D227/sign=5ead1ee5d62a283447a631096cb7c92e/a2cc7cd98d1001e907f51af7ba0e7bec55e79778.jpg)
隔项关系
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D148/sign=0ebf9b27cc1b9d168ec79e65cbdfb4eb/fc1f4134970a304e5d66a902d3c8a786c8175c85.jpg)
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D311/sign=b81b98c749fbfbedd859307e49f1f78e/a8014c086e061d95e8cf3ec079f40ad163d9cab9.jpg)
质数数量
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每5个连续的数中有且只有一个被5整除,每6个连续的数中有且只有一个被8整除,
每7个连续的数中有且只有一个被13整除,
每8个连续的数中有且只有一个被21整除,
每9个连续的数中有且只有一个被34整除,
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数:5,13,89,233,1597,28657(第19位不是)
斐波那契数列的素数无限多吗?
尾数循环
斐波那契数列的个位数:一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
进一步,斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环,最后三位数是一个1500步的循环,最后四位数是一个15000步的循环,最后五位数是一个150000步的循环。