欧拉回路算法

一.欧拉回路的判定

主要分为两大类

无向图欧拉回路判定：

1、欧拉路径：即可以一笔画，充要条件是度数为奇数的点的个数为0或2。

2、欧拉回路：欧拉路径构成一个圈，充要条件是全部是偶点

有向图欧拉回路判定

1、欧拉路径：起点出度比入度大1，终点入度比出度大1，其他点全部是偶点

2、欧拉回路：每个点出度和入度都相等，且存在一系列环可以覆盖原图。

题目 hihocoder1176

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 100;
int in[maxn];
int main()
{
    int n, m, x, y;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin>>x>>y;
        in[x]++;
        in[y]++;
    }
    int t = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(in[i]&1) t++;
    if(t == 0 || t == 2) cout<<"Full"; else cout<<"Part";
}

二、欧拉路径的求法

使用Fleury算法求

原理，先找到起点（根据判定）

然后由起点找到dfs出一条路径L1，那么L1的终点必定是判定里说的终点，于是把L1上所有的边删掉，我们再进行增广

对于L1上每一个点，如果它仍然可以连向其他点，那么就可以继续走，以欧拉回路的方式再次回到这个点

在这个过程中可能会再次形成L1'回路，然后对L1'回路继续这样做，递归下去即可

最后按照栈的方式输出就可以了，利用dfs的性质可以很简单的做到

hihocoder 1181

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 100;
typedef pair<int, int> PII;
vector<int> G[maxn], V;
vector<PII> edges;
int f[maxn];
void dfs(int x){
    for(auto i : G[x]){
        auto e = edges[i];
        if(f[i]) continue;
        f[i] =  1;
        dfs(e.fi == x ? e.se : e.fi);
    }
    cout<<x<<" ";
}
int main()
{
    int n, m, x, y;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin>>x>>y;
        edges.push_back({x, y});
        G[x].push_back(i-1);
        G[y].push_back(i-1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(G[i].size() & 1) V.push_back(i);
    int s = V.size() ? V[0] : 1;
    dfs(s);
    return 0;
}

三、简单应用

hihocoder 1182

求一个长度为2^n的字符串，使他的每n位恰好构成0~2^n-1

比如说n=3时， 答案为 00010111

即000,001,010,101,011,111,110,100

建图，比如说001就建(00)->(01)， 011建(01)->(11)，然后走完所有的边，实际上就构造了一个欧拉回路

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int maxn = (1<<15) + 100;
typedef pair<int, int> PII;
vector<int> G[maxn], ans;
vector<PII> edges;
int f[maxn];
int n;
void dfs(int x){
    for(auto i : G[x]){
        if(f[i]) continue;
        f[i] = 1;
        dfs(edges[i].se);
    }
    ans.push_back(x);
}

int main()
{
    cin>>n;
    if(n == 1) { cout<<"01"<<endl; return 0; }
    for(int i = 0; i < (1<<n); i++){
        int y = i&((1<<(n-1))-1), x = i>>1;
        edges.push_back({x, y});
        G[x].push_back(edges.size()-1);
    }
    dfs(0);
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    for(int i = 1<<(n-1); i >= 1; i >>= 1){
        if(i&ans[1]) cout<<"1";
        else cout<<"0";
    }
    for(int i = 2; i < ans.size()-n+1; i++){
        if(ans[i]&1) cout<<"1";
        else cout<<"0";
    }
}

00010111