CF528E Triangles3000

题意：给你一个不存在三线共交点的一次函数组a[i]x+b[i]y+c[i]=0。

问等概率选取三条直线，围成三角形的面积的期望。

n<=3000.

标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double ans,x,y,X,Y;
struct node{int a,b,c;}p[3005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d%d%d",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].c);
        if (p[i].b<0) p[i].a=-p[i].a,p[i].b=-p[i].b,p[i].c=-p[i].c;//避免后面不等式的变号 
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
      for (int j=i+1;j<=n;j++)
        if (-p[i].a*p[j].b<-p[j].a*p[i].b) swap(p[i],p[j]);
   for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        X=Y=0;
        for (int j=i+1,k=1;k<n;k++,j++)
        {
            if (j>n) j=1;
            x=(double)(p[j].c*p[i].b-p[i].c*p[j].b)/(p[i].b*p[j].a-p[i].a*p[j].b);//求交点 
            y=(double)(p[j].c*p[i].a-p[i].c*p[j].a)/(p[i].a*p[j].b-p[i].b*p[j].a);//这样写对0有符号，可以避免被0除 
            ans+=x*Y-X*y;//叉积求平行四边形面积
            X+=x;Y+=y; 
        }
    } 
    printf("%.4lf
",ans*3/n/(n-1)/(n-2)); 
    return 0;
}

题解：叉积前缀和

最愚蠢的方法自然是n^3枚举直线。计算几何常用套路前缀和。将直线按照斜率排序，枚举直线a和直线b，统计斜率在[a,b]之间的三角形面积和。用叉积来求需要交点，一个交点为直线a和直线b的交点，另一个交点集合为直线a与中间直线们的交点（前缀和维护x坐标和，y坐标和）。

注意三角形的面积要通过三个顶点的两两的叉积来求。

时间复杂度O(n^2)。

附：CF官方题解还有一个超级牛逼的方法。外框一个矩形，那么三角形面积就等于矩形面积减去三块直线夹角夹成的四边形。每两条直线的夹角（有两个）夹成的四边形被统计多少次，也就是斜率在这个夹角范围内的直线条数，可以用叉积是否在其中。