CF538H Summer Dichotomy

题意：可以录取x个学生，t<=x<=T。将学生分成两组，大小分别为n1,n2。一共有n个老师需要分进这两个组里，有m对老师互相讨厌不能同组，每个老师都对其所在组的大小有[li,ri]的限制。求一种学生和老师的合法分配方案。li,ri<=1e9,n,m<=1e5.

标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int t,T,n,m,c[N],n1,n2,l[N],r[N],x,y;
vector<int> vec[N];
void fail(){puts("IMPOSSIBLE");exit(0);}
void dfs(int x,int col)
{
    if (c[x]) 
      if (c[x]==col) return;else fail();
    c[x]=col;
    for (int i=0;i<vec[x].size();i++) dfs(vec[x][i],3-col);
}
bool in(int i,int x) {return l[i]<=x&&x<=r[i];} 
int main()
{
    scanf("%d%d",&t,&T);
    scanf("%d%d",&n,&m);n1=1e9;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&l[i],&r[i]),n1=min(n1,r[i]),n2=max(n2,l[i]);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),vec[x].push_back(y),vec[y].push_back(x);
    if (n1+n2<t) n2=t-n1;
    else if (n1+n2>T) n1=T-n2;
    if (n1<0||n2<0) fail();
    for (int i=1;i<=n;i++)
      if (in(i,n1))
      {
            if (!in(i,n2)) dfs(i,1); 
      }else if (in(i,n2)) dfs(i,2);
      else fail();
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!c[i]) dfs(i,1);
    printf("POSSIBLE
%d %d
",n1,n2);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d",c[i]);
    puts("");
    return 0;
} 

题解：二分图染色

回忆一下分成两组有什么算法：匹配、染色、2-sat……

这里有不等式限制2-sat和匹配显然都不合适。

化简不等式：有n1或n2<=min(ri),max(li)<=n1或n2，可以证明n1,n2分别取两个限制不劣，设n1<=min(ri),max(li)<=n2。将这个限制和t<=n1+n2<=T的限制取交集。因而最后n1<=k1,n2>=k2，而如果有解k1,k2不变，故取n1=k1,n2=k2即可。

将老师的匹配区间根据n1和n2的限制二分图染色（厌恶连边），先确定只包含n1或n2的，再确定都包含的。