loj2000[SDOI2017]数字表格

题意：f为Fibnacci数列。求$prod_{1<=i<=n,1<=j<=m} f[gcd(i,j)]$.

n,m<=1e6.

标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+1;
int f[N],prime[N],tot,F[N],ans,p[N],n,m,nxt,u[N],fi[N];
int ksm(int x,int y)
{
  int res=1;
  for (;y;x=(ll)x*x%mod,y>>=1) 
    if (y&1) res=(ll)res*x%mod;
  return res;
}
void pre()
{
  f[1]=f[2]=fi[1]=fi[2]=1;
  for (int i=3;i<N;i++) f[i]=((ll)f[i-1]+f[i-2])%mod,fi[i]=ksm(f[i],mod-2);
  u[1]=1;
  for (int i=2;i<N;i++)
  {
    if (!p[i]) prime[++tot]=i,u[i]=-1;//质数的u是-1！
    for (int j=1;j<=tot&&(ll)prime[j]*i<N;j++)
    {
      p[prime[j]*i]=1;
      if (i%prime[j]==0) break;
      u[prime[j]*i]=-u[i];
    }
  }
  for (int i=0;i<N;i++) F[i]=1; 
  for (int i=1;i<N;i++)
    if (u[i]!=0)
    for (int j=i;j<N;j+=i)
      F[j]=(ll)F[j]*(u[i]==1?f[j/i]:fi[j/i])%mod;//注意u有可能是-1
  for (int i=1;i<N;i++) F[i]=(ll)F[i]*F[i-1]%mod;
}
int main()
{
  pre();int T;
  scanf("%d",&T);
  while (T--) 
  {
    scanf("%d%d",&n,&m);ans=1;
    for (int i=1;i<=min(n,m);i=nxt+1)
    {
      nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));
      ans=(ll)ans*ksm((ll)F[nxt]*ksm(F[i-1],mod-2)%mod,(ll)(n/i)*(m/i)%(mod-1))%mod;
    } 
    printf("%d
",ans);
  }
  return 0;
}

注意点：质数的u是-1！不要忘记。

题解：mobius反演

看到gcd就可以提出来，$Ans=prod_{d=1}^{min(n,m)} f[d]^{sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{d} floor}[gcd(i,j)=1]}$

指数上的是mobius经典题，用$mu$函数反演以下，得到$Ans=prod_{d=1}^{min(n,m)} f[d]^{sum_klfloorfrac{n}{dk} floorlfloorfrac{m}{dk} floormu(k)}$。

令u=kd,$Ans=prod_u(prod_{k|u}f[frac{u}{k}]^{mu(k)})^{lfloorfrac{n}{u} floorlfloorfrac{m}{u} floor}$。分块即可。

预处理中间那部分东西的前缀积。