前言：
背包问题所涉及的是经典的动态规划算法。因为长时间不AC了，渐渐感觉思维也都麻了！本文将基础的背包问题做个小结，方便以后翻阅。感兴趣的朋友也可以阅读一下~
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（1）如何从n个重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包使其总价值最大？
输入：
5 10 （分别表示：n,S）
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2
5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2
输出：
15
10
分析：
f[i][j]：表示背包在存放了前i件物品占据j重量时的价值
其中，1<=i<=n,0<=j<=S;
当我到达某一个状态，需要选择是否将第i件物品放入我的背包时，必须考虑值不值的问题，即：
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1]][j-w[i]]+v[i]);
理解了上面的状态转移方程之后,就可以方便得出下面的伪代码了：
f[0...n][0...S] <- 0 //初始化
for i<-1:n
for j<-w[i]:S
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1]][j-w[i]]+v[i]); //状态转移
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=1e3+10; 6 int f[maxn][maxn]; 7 int main(){ 8 //数据从文件读入 9 freopen("datain.txt","r",stdin); 10 int n,S,a,b; 11 while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){ 12 memset(f,0,sizeof(f)); 13 for(int i=1;i<=n;i++){ 14 scanf("%d%d",&a,&b); 15 for(int v=1;v<=S;v++){ 16 if(v>=a) //do not neglect 'v<a' 17 f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i-1][v-a]+b); 18 else 19 f[i][v] = f[i-1][v]; 20 } 21 } 22 printf("%d ",f[n][S]); 23 } 24 return 0; 25 }
以上算法的时间复杂度、空间复杂度均为：O(n*S)
f[i][j]的变化过程：
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| 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |
| 0 3 3 3 3 3 5 5 8 8 |
| 0 3 3 3 4 4 5 5 8 8 |
| 0 3 3 3 10 10 13 13 13 14 |
| 0 3 3 5 10 10 13 13 15 15 |
-----------------------------
在深入理解了状态转移方程之后，我们其实还可以对空间进行优化，仅用f[i]表示：背包质量达到i是获得的价值。对应的伪代码如下：
f[0...S]<-0
for i<-1:n
for j<-S:w[i] //从右往左更新！
f[j] = max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
对空间进行优化后的代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=1e3+10; 6 int f[maxn]; 7 int main(){ 8 freopen("datain.txt","r",stdin); 9 int n,S,a,b; 10 while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){ 11 memset(f,0,sizeof(f)); 12 for(int i=0;i<n;i++){ 13 scanf("%d%d",&a,&b); 14 for(int v=S;v>=a;v--){ 15 f[v] = max(f[v],f[v-a]+b); 16 } 17 } 18 printf("%d ",f[S]); 19 } 20 return 0; 21 }
（2）如何从n个重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包在背包刚好装满情况下，使其总价值最大？
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=1e3+10; 6 int f[maxn]; 7 int main(){ 8 freopen("datain.txt","r",stdin); 9 int n,S,a,b; 10 while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){ 11 for(int i=1;i<=S;i++) f[i]=-0xfffffff; //最小的int 12 f[0]=0; 13 for(int i=0;i<n;i++){ 14 scanf("%d%d",&a,&b); 15 for(int v=S;v>=a;v--){ 16 f[v] = max(f[v],f[v-a]+b); 17 } 18 } 19 printf("%d ",f[S]); 20 } 21 return 0; 22 }
输入：
5 10 （分别表示：n,S）
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2
输出：14
（3）如何从n种（每种无限个）重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包使其总价值最大？
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=1e3+10; 6 int f[maxn]; 7 int main(){ 8 freopen("datain.txt","r",stdin); 9 int n,S,a,b; 10 while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){ 11 memset(f,0,sizeof(f)); 12 for(int i=0;i<n;i++){ 13 scanf("%d%d",&a,&b); 14 for(int v=a;v<=S;v++){ 15 f[v] = max(f[v],f[v-a]+b); 16 } 17 } 18 printf("%d ",f[S]); 19 } 20 return 0; 21 }
输入:
5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2
输出:10
（4）如何从n种（每种无限个）重量和价值分别为Vi、Wi的物品中选择一或多个放入最大容纳量为S的背包在背包刚好装满情况下，使其总价值最大？
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxn=1e3+10; 6 int f[maxn]; 7 int main(){ 8 freopen("datain.txt","r",stdin); 9 int n,S,a,b; 10 while(scanf("%d%d",&n,&S)==2){ 11 for(int i=0;i<=S;i++) f[i]=-0xfffffff; 12 f[0]=0; 13 for(int i=0;i<n;i++){ 14 scanf("%d%d",&a,&b); 15 for(int v=a;v<=S;v++){ 16 f[v] = max(f[v],f[v-a]+b); 17 } 18 } 19 printf("%d ",f[S]); 20 } 21 return 0; 22 }
输入：
5 6
2 3
7 5
3 1
5 10
2 2
输出：9
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结语：
本文限于篇幅就只是对最最基本的01背包问题作了个人的分析，后面的3个扩展只贴代码，希望感兴趣的朋友们可以旁击侧敲吧~有问题或独特见解的博友请留言~