树状数组

一、引言

　　1.什么是树状数组？

　　　　顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

　　2.树状数组可以解决什么问题

　　　　可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

　　3.树状数组和线段树的区别在哪里

　　　　树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决1+1的问题，但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

　　4.树状数组的优点和缺点

　　　　修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。

　　　　缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。

二、基本思想

　　　　算数基本定理：可以将任意正整数关于2的不重复次幂的唯一分解性质，一个数21可以分解为，2^0+2^2+2^4,则一个区间[1,n]可以二进制分解为log（x）个区间

　　　　　　例如：log(21)=3;

　　　　　　　　　　①长度为2^4　　[1,2^4]

　　　　　　　　　　②长度为2^2　　[2^4+1,2^4+2^2]

　　　　　　　　　　③[长度为2^0　　[2^4+2^2+1,2^4+2^2+2^0]

　　　　　树状数组就是依赖算术基本定理的分解思想，把一个区间分解为log（n）个小区间，分而治之

三、基本算法

　　　若区间结尾为R，则区间长度就等于R的二进制分解下最小的二次幂，这时引入lowbit（n）

　　　对于序列A，我们建立一个数组c，数组c保存序列A中[x-lowbit[x]+1,x]中所有数的和

　　　该结构满足一下性质：

• • 　　每个节点c[x]保存以它为根的子树中所有叶子节点的和
  • 　　每个内部节点c[x]的子节点个数等于lowbit（x）的大小
  • 　　除了树根之外，每一个结点c[x]的父亲是c[x+lowbit[x]]
  • 　　树的深度为log(N)

　　1.求lowbit(x)

　　　　原理：将x用二进制表示，将x取反的基础上再加上1，所以原来最后一位到倒着数原来为1的位置（不包含），这些位置原来从0变成1，又因为加上了一，所以就会进位

　　　　　　　原来最后一位到倒着数原来为1的位置（不包含）就会又变成0，直到原来为1的位置与原来是一样的，所以这样就将非负整数x二进制表示下最低位1与后面的0构成的值用lowbit(x)表示

　　　　　　　用因为在补码的表示下~x=-1-n

　　　　　　　所以lowbit(x)=x&(-x);

　　2.对某个元素进行加减法操作

　　　　对a[x]对于修改，c[x]以及c[x]的祖先都需要修改，又因为c[x]的祖先为c[x+lowbit(x)],所以可以在log(n)的时间内执行单点增加以及前缀和维护操作

　　3.查询前缀和

　　　　对于一个前缀和[1,n]，我们把它划分为了log(n)个小区间，想基本思想中举的例子一样，对于区间和，则等于这几个小区间的区间和总值

　　4.查询区间和

　　　　利用前缀和求解，sum[i,j]=sum[j]-sum[i-1]

　　5.扩展(多维树状数组)

　　　　跟一维的差不多，知识多了几个循环，时间复杂度为(logn)^m,在维度不大的情况下，还是可以接受的

　　6.注意事项

　　　　下标不能为0，lowbit(0) ，会陷入死循环

四、典例分析

　　　模板1（单点修改）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
int a[50005],c[50005]; //对应原数组和树状数组

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i <= n){
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    for(int tot = 1; tot <= t; tot++){
        cout << "Case " << tot << ":" << endl;
        memset(a, 0, sizeof a);
        memset(c, 0, sizeof c);
        cin>>n;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cin>>a[i];
            updata(i,a[i]);   //输入初值的时候，也相当于更新了值
        }

        string s;
        int x,y;
        while(cin>>s && s[0] != 'E'){
            cin>>x>>y;
            if(s[0] == 'Q'){    //求和操作
                int sum = getsum(y) - getsum(x-1);    //x-y区间和也就等于1-y区间和减去1-(x-1)区间和
                cout << sum << endl;
            }
            else if(s[0] == 'A'){
                updata(x,y);
            }
            else if(s[0] == 'S'){
                updata(x,-y);    //减去操作，即为加上相反数
            }
        }

    }
    return 0;
}

　　　模板2（区间修改）

int n,m;
int a[50005] = {0};
int sum1[50005];    //(D[1] + D[2] + ... + D[n])
int sum2[50005];    //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){
    int x = i;    //因为x不变，所以得先保存i值
    while(i <= n){
        sum1[i] += k;
        sum2[i] += k * (x-1);
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求前缀和
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0){
        res += x * sum1[i] - sum2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>>a[i];
        updata(i,a[i] - a[i-1]);   //输入初值的时候，也相当于更新了值
    }

    //[x,y]区间内加上k
    updata(x,k);    //A[x] - A[x-1]增加k
    updata(y+1,-k);        //A[y+1] - A[y]减少k

    //求[x,y]区间和
    int sum = getsum(y) - getsum(x-1);

    return 0;
}

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　　　　树状数组详解

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