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  • 5 范数及矩阵函数

    关联:0 复习与引申1 线性空间与线性变换2 内积空间与等距变换3 矩阵的相似标准形4 Hermite二次型

    本章目的

    本章首先引进范数概念,然后介绍矩阵序列幂级数收敛定理,在此基础上给出矩阵函数的定义,并介绍其计算

    • 矩阵函数
    • 范数
    • 矩阵函数的应用

    范数

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    内积与范数

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    由于范数实际上是表示距离的概念,所以这里的符号记法与之前的类似。
    内积空间中两向量之差的长度固然是这样的一种量,但还可以有其它形式的量。范数是更为一般的反应向量间“距离”的量。

    • \(C^n\)中范数的例子:
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    范数与极限

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    范数的可比较性(等价)

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    矩阵范数

    • 矩阵p-范数:
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    范数的相容性

    • 定义:
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    • 定理:
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    算子范数

    • 定义:
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    • 定理:
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      1. 列模和范数:列取模求和的最大值;
      2. 谱范数:特征值模的最大值;
      3. 行模和范数:行取模求和的最大值。

    矩阵2-范数(Frobenius范数)和算子2-范数(谱范数)比较重要

    • 例题:
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      解:\(||M||_F=\sqrt{a^2+b^2}\)\(||M||_2=\max\left\{c,d\right\}\)

    收敛定理

    • 定义:
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    幂序列

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    矩阵幂级数

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    矩阵函数

    定义法

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    对于比较简单的矩阵,可以直接代入定义中,把矩阵当做x进行计算。

    定理

    • 定理1:设\(A \in C^{n \times n},\rho(A)<R\),又\(f(x)\)\(x\)的解析函数\((|x|<R)\),则\(f(A)=Pdiag[f(J_1),\ldots,f(J_s)]P^{-1}\),其中

    \[f(J_i)=\begin{bmatrix} f(\lambda_i) & f^{\prime}(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-1)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-1)!} \\ 0 & f(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-2)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-2)!} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & f^{\prime}(\lambda_i)\\ 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_i)\\ \end{bmatrix}_{r_i \times r_i} \]

    • 定理2:已知\(n\times n\)矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\),则\(f(A)\)的特征值为\(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_n)\).

    待定系数法

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    注意:这里几重根就提供几个方程,即求导代入对应的特征值,左右两边相等即可。

    关联第三章最小多项式的知识点:最小多项式的根的重数=矩阵的Jordan标准形里以该数为特征值的Jordan块的最高阶数
    因而在待定系数法中往往取阶数最高的Jordan块,因为它涵盖的范围最广、条件最多。找\(g(x)\)的时候应当比最小多项式的次数少1,也就是比最高阶数少1.

    矩阵函数的性质

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    这里要注意第二条一定要满足\(AB=BA\)才可以使用。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Severus-Cavendish/p/15669782.html
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