Notes: Kirchhoff's Matrix 基尔霍夫矩阵

Notes: Kirchhoff's Matrix 基尔霍夫矩阵

一般说来，我博客里的 (LaTeX) 通常都没什么用。不过我很高兴，这回不是了。

众所周知地，基尔霍夫矩阵（Kirchhoff's Matrix）是用以解决图上生成树计数问题的。

接下来我们分有向图无向图的情况考虑一下。

无向图上的基尔霍夫矩阵

Theorem

考虑一个含有 (n) 个点的无向图 (G)，我们定义度数矩阵 (D(G)) 为：

[large D(G)_{ij} = cases{ 0 & $i ot=j$ \ deg(i) & $i =j$ } ]

其中 (deg(i)) 是结点 (i) 的度数。

我们定义邻接矩阵 (A(G)) 为：

[large A(G)_{i,j} = cases { { m edg}(i,j) & $i ot= j$ \ 0 & $i = j$ } ]

其中 ({ m edg}(i, j)) 是结点 (i) 与结点 (j) 之间连边的数量。

（这显然是我们考虑生成树问题时的关键指标嘛

矩阵树定理指出，如果我们定义基尔霍夫矩阵 (K(G)) 为：

[large K(G) = D(G) - A(G) ]

那么，取 (K(G)) 的任一 (n - 1) 阶主子式 (K'(G) = K(G) egin{pmatrix} 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n \ 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n end{pmatrix})，

我们有生成树个数 (ans) 就是 (K') 的行列式，也即是说：

[large ans = det (K'(G)) ]

等价地，设 (lambda_1,lambda_2,dots,lambda_{n-1}) 是 (K(G)) 的 (n - 1) 个非零特征值，我们也有：

[large ans = frac{1}{n}cdot prod _ {i = 1} ^ {n - 1} lambda_i ]

证明留给读者（逃

Hints

主子式：

​ (K'(G) = K(G) egin{pmatrix} 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n \ 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n end{pmatrix}) 表示取矩阵 (K(G)) 的
第 (1,dots,i-1,i+1,dots,n) 行，
与第 (1,dots,i-1,i+1,dots,n) 构成的子矩阵。

取出 (k) 行 (k) 列的子矩阵被称为原矩阵的 (k) 阶主子式。

行列式的求法：

定义是这样：

[large det(A) = sum_{s in S} { m sgn}(s) cdotprod_{i=1}^n A_{i,s_i} ]

其中 (S) 是所有 (1sim n) 的排列构成的集合，(s_i) 表示排列 (s) 中的第 (i) 个数。

其中 ({ m sgn}(s)) 表示 (s) 中逆序对数量的奇偶性，奇数为 0 ，偶数为 1 。

这个定义复杂得几乎不可求，有时我们会选择将行列式展开求解：

考虑行列式：

[large A = egin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn} end{vmatrix} ]

我们把 (A) 的第 (i) 行与第 (j) 列去掉后留下了的行列式称为 (a_{ij}) 的余子式，记作 (M_{ij}) 。

然后定义一个叫做代数余子式的东西 (A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}) ，

如果选定固定的一行 (k) ，行列式的值 (D) 就满足

[large D = sum _ {j = 1} ^ n a_{kj}cdot A_{kj} ]

选定固定的一行 (k) 也是一样的：

[large D = sum _ {i = 1} ^ n a_{ik}cdot A_{ik} ]

证明显然。

不过行列式展开还是太烦了，我们还有别的招。

我们知道行列式有个性质，就是考虑行列式 (A) 的任意两个行向量 (v_i,v_j) （列向量也一样，略）

若进行操作令 (v_i = v_i + k cdot v_j) 行列式的值不变。

于是我们可以高斯消元把原行列式化成行列梯式（简单理解为对角线的某一侧全都是 0 ）

显然，

[large D = prod _ {i = 1} ^ n a'_{ii} ]

这个复杂度是 (O(n^3)) 的，完全可以接受。

class Matrix {
#define rep(a, b, c) for(int a = b; a <= c; ++a)
private:
	vector<vector<double> > mat;

public:
	inline void init(int n) {
		mat.resize(n + 1);
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			mat[i].resize(n + 1);
	}

	int length() {
		return mat.size() - 1;
	}

	double &operator () (int i, int j) {
		return mat[i][j];
	}

	double det() {
		int n = length();

		rep(i, 1, n) {
			int p = i;
			rep(j, i + 1, n)
				if(fabs(mat[j][i]) > fabs(mat[p][i])) p = j;
			if(p != i) {
				rep(j, i ,n) swap(mat[i][j], mat[p][j]);
			}
			rep(j, i + 1, n) {
				double tmp = mat[j][i] / mat[i][i];
				rep(k, 1, n) mat[j][k] -= mat[i][k] * tmp;
			}
		}

		double ans = 1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			ans *= mat[i][i];
		return ans;
	}
};

特征值的求法：

其实我不太会。上网找到一篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/61363638 大家可以参考。

高斯消元：

代码见上，不懂可参见苏教版数学必修三或百度。

有向图上的基尔霍夫矩阵

Theorem

有向图上结点的度分为入度和出度，很自然地，我们定义入度矩阵和出度矩阵：

[large D(G)_{ij}^{ m out} = cases{ 0 & $i ot=j$ \ { m deg^{out}}(i) & $i =j$ } \[1cm] large D(G)_{ij}^{ m in} = cases{ 0 & $i ot=j$ \ { m deg^{in}}(i) & $i =j$ } ]

不用说，其中 ({ m deg^{out}}(i)) 为结点 (i) 的出度，({ m deg^{in}}(i)) 为结点 (i) 的入度。

邻接矩阵定义不变：

[large A(G)_{i,j} = cases { { m edg}(i,j) & $i ot= j$ \ 0 & $i = j$ } ]

同样定义出入度基尔霍夫矩阵：

[large K(G)^{ m out} = D(G)^{ m out} - A(G) \[0.4cm] large K(G)^{ m in} = D(G)^{ m in} - A(G) ]

接下来……

等等，还没定义有向图上的生成树吧？

我们记 (ans_f) 表示所有边都从儿子指向父亲的生成树个数， (ans_s) 表示所有边都从父亲指向儿子的生成树个数。

类似地有：

[large egin{align*} ans_f(i) =det(~~ K(G)^{ m out} &egin{pmatrix} 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n \ 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n end{pmatrix} ~~) \[0.2cm] ans_s(i) =det(~~ K(G)^{ m in~} &egin{pmatrix} 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n \ 1 & dots & i - 1 & i + 1 & dots n end{pmatrix} ~~) end{align*} ]

其中 (i) 是根节点的编号，求总数你得枚举做 (sum)

证明留给读者。