素数打表的四种解法

题目：

给出一个正整数n，打印出所有从$1$~$n$的素数(即质数);

1.傻瓜解法

 int i,n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
  { 
for(i=2;i<n;i++)
if(n%i==0) break; 
if(i==n) printf("YES
");
else printf("NO
");
    }

这是理所当然的想法，按照素数的定义，除了1和它本身没有其他的因数，就是素数。

这种解法的缺点就是红色标注那里，这种循环规模n稍微大点，运行时间就会特别特别长。

2.普通解法–$sqrt(n)$

int i,n,x;
  while(scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
    x=(int)sqrt(n);
    for(i=2;i<=x;i++)
         if(n%i==0)    break; 
    if(i>x)    printf("YES
");
    else           printf("NO
");
    }

这里循环取到$sqrt(n)$，效率改进不少了，但显然还是不够理想。

3.普通筛选法–埃拉托斯特尼筛法

关于埃拉托斯特尼筛法，维基百科上的GIF讲解和伪代码都特别清楚。

所用的原理大概是所使用的原理是从2开始，将每个素数的各个倍数，标记成合数。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和试除法不同的关键之处，后者是以素数来测试每个待测数能否被整除。

实现方法：建立一个bool类型的数组check，一个int类型的数组prime储存素数，先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（check置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 100000
#define MAXL 1000000
_Bool check[MAXN];
int prime[MAXL];
int main(void)
{
    int n,count;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        count = 0;
        memset(check, 0, sizeof(check));
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (!check[i]) 
                prime[count++] = i;
            for (int j = i + i; j <= n; j += i)
                check[j] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < count; i++)
            printf("%d
", prime[i]);
    }
    return 0;
}

埃拉托斯特尼筛法虽然已经将时间复杂度降低到$O(nlog_{log_n})$，但是还是有不足之处。

因为6在$i==2$时就被标记了，而在i==3的时候又被标记了一次，所以还是有改进的空间。

4.线性筛选法——欧拉筛法

欧拉筛法通过红色标记部分保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，时间复杂度降低到O(n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 100000
#define MAXL 1000000
int prime[MAXN];
_Bool check[MAXL];
 
int main()
{
    int n, count;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        memset(check, 0, sizeof(check));
        count = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (!check[i])
                prime[count++] = i;
            for (int j = 0; j < count; j++)
            {
                if (i*prime[j] > MAXL)
                    break; // 过大的时候跳出
                check[i*prime[j]] = 1;
                if ((i%prime[j]) == 0) // 如果i是一个合数，而且i % prime[j] == 0
                    break; 
            }
        }
        for (int i = 0; i < count; i++)
            printf("%d
", prime[i]);
    }
    return 0;
}