Bzoj2705 Longge的问题

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64bit IO Format: %lld & %llu

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

Sample Output

Hint

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

SDOI2012

求Σgcd(i,n) (1<=i<=n)

暴力枚举当然可行，但是TLE不可避。

考虑转化问题，从1到n的范围内，有许多个i的gcd(i,n)等于同一个n的因数。我们可以枚举n的每一个因数k，累计“以该数k为解的gcd(i,n)的个数s(k)"乘以该数，就能得到答案。

若有gcd(n,m)=k，那么n和m同除公约数k后，可以得到gcd(n/k,m/k)=1。由前式可知(m/k)与(n/k)互质。满足条件的(m/k)个数，也就是s(k)就等于phi(n/k) ←欧拉函数！

解1：直接套模板。算法无误，但是因为题目数据大，保存函数后再处理会RE（原因目测是存储用数组开不了那么大）

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 const int maxn=100000;
 9 long long n;
10 int m[maxn],phi[maxn],p[maxn],pt;
11 int euler()
12 {
13     phi[1]=1;
14     int N=maxn;
15     int k;
16     for(int i=2;i<N;i++)
17     {
18         if(!m[i])//i是素数
19             p[pt++]=m[i]=i,phi[i]=i-1;
20         for(int j=0;j<pt&&(k=p[j]*i)<N;j++)
21         {
22             m[k]=p[j];
23             if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛，要break
24             {
25                 phi[k]=phi[i]*p[j];
26 /*这里的phi[k]与phi[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样（m[i]==p[j]）只差一个p[j]，就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了*/
27                 break;    
28             }
29             else
30                 phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);//积性函数性质，f(i*k)=f(i)*f(k)
31         }
32     }
33 }
34 int main(){
35     euler();
36     scanf("%lld",&n);
37     long long m=sqrt(n);
38     int i,j;
39     long long ans=0;
40     for(i=1;i<=m;i++){
41         if(n%i==0){
42             ans+=phi[n/i]*i;
43             ans+=(n/i)*phi[i];
44         }
45     }
46     printf("%lld
",ans);
47     return 0;
48 }

解2：多花点时间，每次都算一遍。并不会TLE，神奇

代码是从hzw学长那学到的，精简得很。

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=100000;
 9 long long n,m;
10 long long phi(long long x){
11     long long a=x;
12     for(long long i=2;i<=m;i++){
13         if(x%i==0){//找到因数 
14             a=a/i*(i-1);//基本计算公式 a*=((i-1)/i) 
15             while(x%i==0)x/=i;//除去所有相同因数 
16         }
17     }
18     if(x>1)a=a/x*(x-1);//处理最后一个大因数 
19     return a;
20 }
21 int main(){
22     scanf("%lld",&n);
23     m=sqrt(n);
24     int i,j;
25     long long ans=0;
26     for(i=1;i<=m;i++){
27         if(n%i==0){
28             ans+=phi(n/i)*i;
29             ans+=(n/i)*phi(i);
30         }
31     }
32     printf("%lld
",ans);
33     return 0;
34 }