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  • Bzoj3270 博物馆

    Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MB
    Submit: 456  Solved: 247

    Description

    有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行,他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间,并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。
    两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动,去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事:他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点,他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方(他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的)
    不过,尽管他们到处乱跑,但他们还没有看完足够的艺术品,因此他们每个人采取如下的行动方法:每一分钟做决定往哪里走,有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方(即呆在房间不动),有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事,因此每条走廊会连接两个不同的房间,并且任意两个房间至多被一条走廊连接。
    两个男孩同时行动。由于走廊很暗,两人不可能在走廊碰面,不过他们可以从走廊的两个方向通行。(此外,两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇)两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说,当两个人在某个时刻选择前往同一间房间,那么他们就会在那个房间相遇。
    两个男孩现在分别处在a,b两个房间,求两人在每间房间相遇的概率。

    Input

    第一行包含四个整数,n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。
    之后m行每行包含两个整数,表示走廊所连接的两个房间。
    之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。
    题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

    Output

    输出一行包含n个由空格分隔的数字,注意最后一个数字后也有空格,第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率(输出保留6位小数)
    注意最后一个数字后面也有一个空格

    Sample Input

    2 1 1 2
    1 2
    0.5
    0.5

    Sample Output

    0.500000 0.500000

    HINT

    对于100%的数据有 n <= 20,n-1 <= m <= n(n-1)/2

    Source

    数学问题 数学概率DP 高斯消元

    用数对(a,b)表示A在a,B在b的状态,则很容易推出各个状态之间的转移概率。如果两人到了相同的位置,就不向其他状态转移

    ————————

    设S为初始行向量(S[(a,b)]=1),ans为答案行向量

    那么有ans=S+SA+SA^2+SA^3+...

        ——popoQQQ

    ————————

    求一个无限长的多项式的值,可以用1除以它的逆元。

    对于矩阵,也可以用单位矩阵I除以矩阵的逆元

    于是ans=S(I-A^+∞)/(I-A)

        =S/(I-A)

    可以得到ans*(I-A)=S

    对(I-A)的转置求高斯消元即可得到答案

    ——————————

    一些小花招:

    建出转移矩阵以后,大力快速幂,概率会向正确值收敛。

    在某道有趣的游戏那边,这么做是可行的,因为矩阵极其小(好像只有20*20),自乘40次就可以得到解了

    在这里试图如法炮制,然而400*400的矩阵实在吃不消了233

    自乘10次WA,自乘20次T

    放弃

      1 /*by SilverN*/
      2 #include<algorithm>
      3 #include<iostream>
      4 #include<cstring>
      5 #include<cstdio>
      6 #include<cmath>
      7 #include<vector>
      8 using namespace std;
      9 const int mxn=30;
     10 int read(){
     11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
     12     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
     13     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
     14     return x*f;
     15 }
     16 struct edge{
     17     int v,nxt;
     18 }e[200010];
     19 int hd[mxn],mct=0;
     20 void add_edge(int u,int v){
     21     e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
     22 }
     23 int n,m,ed;
     24 struct Mat{
     25     double x[401][401];
     26     Mat operator + (const Mat b){
     27         Mat res;
     28         for(int i=1;i<=ed;i++)
     29             for(int j=1;j<=ed;j++)
     30                 res.x[i][j]=x[i][j]+b.x[i][j];
     31         return res;
     32     }
     33     friend Mat operator * (const Mat a,const Mat b){
     34         Mat res;
     35         for(int i=1;i<=ed;i++)
     36             for(int j=1;j<=ed;j++){
     37                 res.x[i][j]=0;
     38                 for(int k=1;k<=ed;k++)
     39                     res.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
     40             }
     41         return res;
     42     }
     43 }mt,bas;
     44 int out[mxn];
     45 double p[mxn],d[mxn][mxn];;
     46 int pa,pb;//初始位置 
     47 int id[mxn][mxn],cnt=0;
     48 void Build(){
     49     int i,j;
     50     for(i=1;i<=n;i++)
     51         for(j=1;j<=n;j++)
     52             id[i][j]=++cnt;
     53     ed=cnt;
     54     for(i=1;i<=n;i++)
     55         for(j=1;j<=n;j++){
     56             if(i==j){
     57                 mt.x[id[i][j]][id[i][j]]=1;
     58                 continue;
     59             }
     60             for(int k=1;k<=n;k++)
     61                 for(int l=1;l<=n;l++){
     62                     mt.x[id[i][j]][id[k][l]]+=d[i][k]*d[j][l];
     63 //                  printf("(%d,%d)to(%d,%d):%.3f
    ",i,j,k,l,mt.x[id[i][j]][id[k][l]]);
     64             }
     65         }
     66 /*  for(i=hd[pa];i;i=e[i].nxt){
     67         int v1=e[i].v;
     68         bas.x[id[pa][pb]][id[v1][pb]]=d[pa][v1]*d[pb][pb];
     69         for(j=hd[pb];j;j=e[j].nxt){
     70             int v2=e[j].v;
     71             bas.x[id[pa][pb]][id[v1][v2]]=d[pa][v1]*d[pb][v2];//转移 
     72         }
     73     }
     74     for(j=hd[pb];j;j=e[j].nxt){
     75         int v2=e[j].v;
     76         bas.x[id[pa][pb]][id[pa][v2]]=d[pa][pa]*d[pb][v2];
     77     }*/
     78     return;
     79 }
     80 int main(){
     81     int i,j,u,v;
     82     n=read();m=read();pa=read();pb=read();
     83     for(i=1;i<=m;i++){
     84         u=read();v=read();
     85         add_edge(u,v);add_edge(v,u);
     86         ++out[u];++out[v];
     87     }
     88     for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
     89     for(i=1;i<=n;i++){
     90         d[i][i]=p[i];
     91         for(j=hd[i];j;j=e[j].nxt){
     92             int v=e[j].v;
     93             d[i][v]+=(1-p[i])/out[i];
     94         }
     95     }
     96     Build();
     97     //
     98     for(i=1;i<=5;i++) mt=mt*mt;
     99 //  bas=bas*mt;
    100 /*  for(i=1;i<=n;i++)
    101         for(j=1;j<=n;j++){
    102             for(int k=1;k<=n;k++)
    103                 for(int l=1;l<=n;l++)
    104                     printf("(%d,%d)to(%d,%d):%.3f
    ",i,j,k,l,mt.x[id[i][j]][id[k][l]]);
    105         }*/
    106     //
    107     for(i=1;i<=n;i++)printf("%.6f ",mt.x[id[pa][pb]][id[i][i]]);
    108     return 0;
    109 }
    TLE

    ——————————

     1 /*by SilverN*/
     2 #include<algorithm>
     3 #include<iostream>
     4 #include<cstring>
     5 #include<cstdio>
     6 #include<cmath>
     7 #include<vector>
     8 using namespace std;
     9 const int mxn=30;
    10 int read(){
    11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
    12     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    13     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    14     return x*f;
    15 }
    16 struct edge{
    17     int v,nxt;
    18 }e[100010];
    19 int hd[mxn],mct=0;
    20 void add_edge(int u,int v){
    21     e[++mct].v=v;e[mct].nxt=hd[u];hd[u]=mct;return;
    22 }
    23 int n,m,ed;
    24 double f[402][402];
    25 double ans[402];
    26 void Gauss(){
    27     int i,j,k;
    28     for(i=1;i<=ed;i++){
    29         int p=i;
    30         for(j=i+1;j<=ed;j++) if(f[j][i]>f[p][i])p=j;
    31         if(p!=i)for(j=i;j<=ed+1;j++){swap(f[p][j],f[i][j]);}
    32         for(j=i+1;j<=ed;j++){
    33             double x=f[j][i]/f[i][i];
    34             for(k=i;k<=ed+1;k++){
    35                 f[j][k]-=f[i][k]*x;
    36             }
    37         }
    38     }
    39     for(i=ed;i;i--){
    40         for(j=i+1;j<=ed;j++){
    41             f[i][ed+1]-=f[i][j]*ans[j];
    42         }
    43         ans[i]=f[i][ed+1]/f[i][i];
    44     }
    45     return;
    46 }
    47 int out[mxn];
    48 double p[mxn],d[mxn][mxn];
    49 int pa,pb;//初始位置 
    50 int id[mxn][mxn],cnt=0;
    51 void Build(){
    52     int i,j;
    53     for(i=1;i<=n;i++)
    54         for(j=1;j<=n;j++)
    55             id[i][j]=++cnt;
    56     ed=cnt;
    57     for(i=1;i<=n;i++)
    58         for(j=1;j<=n;j++)
    59             if(i!=j){
    60                 for(int k=1;k<=n;k++)
    61                     for(int l=1;l<=n;l++){
    62                         f[id[i][j]][id[k][l]]-=d[i][k]*d[j][l];
    63                 }
    64             }
    65     for(i=1;i<=ed;i++)
    66         for(j=1;j<i;j++)
    67             swap(f[i][j],f[j][i]);
    68     for(i=1;i<=ed;i++)
    69         f[i][i]+=1;
    70     f[id[pa][pb]][ed+1]=1;
    71     return;
    72 }
    73 int main(){
    74     int i,j,u,v;
    75     n=read();m=read();pa=read();pb=read();
    76     for(i=1;i<=m;i++){
    77         u=read();v=read();
    78         add_edge(u,v);add_edge(v,u);
    79         ++out[u];++out[v];
    80     }
    81     for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
    82     for(i=1;i<=n;i++){
    83         d[i][i]=p[i];
    84         for(j=hd[i];j;j=e[j].nxt){
    85             int v=e[j].v;
    86             d[i][v]+=(1-p[i])/out[i];
    87         }
    88     }
    89     Build();
    90     Gauss();
    91     for(i=1;i<=n;i++)printf("%.6f ",ans[id[i][i]]);
    92     return 0;
    93 }
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