Bzoj3168 [Heoi2013]钙铁锌硒维生素

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Description

银河队选手名单出来了！小林，作为特聘的营养师，将负责银河队选手参加
宇宙比赛的饮食。众所周知，前往宇宙的某个星球，通常要花费好长好长的时间，人体情况在这之间会发生变化，因此，需要根据每天的情况搭配伙食，来保证营养。小林把人体需要的营养分成了n种，这些营养包括但不限于铁，钙。他准备了2套厨师机器人，一套厨师机器人有n个，每个厨师机器人只会做一道菜，这道菜一斤能提供第i种营养xi微克。想要吃这道菜的时候，只要输入一个数，就能吃到对应数量的这道菜了。为防止摄入过量对身体造成的伤害，每个机器人还有防过量摄入药，只要输入一个数，就能生成一定剂量的药，吃了这些药，就能减少相当于食用对应数目的这道菜提供的营养。
小林之所以准备2套厨师机器人，正是因为旅途漫漫，难以预计，也许某一个厨师机器人在途中坏掉，要是影响了银河队选手的身体，就不好了。因此，第2套厨师机器人被用来做第1套的备用。小林需要为每一个第1套厨师机器人选一个第2套厨师机器人作备份，使得当这个机器人坏掉时，用备份顶替，整套厨师机器人仍然能搭配出任何营养需求，而且，每个第2套厨师机器人只能当一个第1套厨师机器人的备份。

Input

第一行包含一个正整数n。接下来n行，每行n个整数，表示第
1套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。再接下来n行，每行n个整数，表示第2套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。

Output

第一行是一个字符串，如果无法完成任务，输出“NIE”，否则输
出“TAK”，并跟着n行，第i行表示第i个第1套机器人的备份是哪一个第2套机器人。为了避免麻烦，如果有多种可能的答案，请给出字典序最小的那一组。

Sample Input

3
100
010
001
230
078
009

Sample Output

TAK
1
23

HINT

对于100%的数据，1≤n≤300，所有出现的整数均非负，且不超过10,000。

Source

数学问题 矩阵乘法 高斯消元

图论 二分图匹配

如果线性无关的向量a1,a2,a3,a4..能线性表出b1,那么前面那个a集合中任意一个向量可以被其他的a向量和b1线性表出（应该是这样）

设矩阵C*A=B，若C[i][j]!=0，则说明ai和其他某些向量可以表出bj,也就是说用bj可以替换ai

而$C=B*A_{ }^{-1}$

求A的逆矩阵，乘以B就得到C

若bj可以替换ai，则从bj向ai连边。发现C的转置就是连边关系的邻接矩阵。

然后跑匈牙利算法，若能得到完备匹配，说明有解，否则无解

然后再用匈牙利算法的模式DFS，贪心地尽量让前面的b匹配前面的a，使字典序最小。

真是神题

↓那个tran()转置其实没必要做，只要建邻接矩阵的时候把i和j翻一下就行

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
//const int mod=1e9+7;
const int mod=999911657;
const int mxn=303;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
LL ksmul(LL a,LL b){
    int res=0;
    while(b){
        if(b&1)res=((LL)res+a)%mod;
        (a<<=1)%=mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL ksm(int a,int k){
    LL x=1;
    while(k){
        if(k&1)x=ksmul(x,a);
        a=ksmul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return x;
}
struct Mat{
    int x[mxn][mxn];
    Mat operator * (Mat b){
        Mat res;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                res.x[i][j]=0;
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    (res.x[i][j]+=(LL)x[i][k]*b.x[k][j]%mod)%=mod;
            }
        }
        return res;
    }
    Mat Gauss_inv(){
        Mat inv;
        int i,j,k;
        for(i=1;i<=n;i++)
            inv.x[i][i]=1;//初始化单位矩阵 
        for(i=1;i<=n;i++){
            if(!x[i][i]){
                int p=i;
                for(j=i+1;j<=n;j++){
                    if(x[p][i]){p=i;break;}
                }
                for(j=1;j<=n;j++){
                    swap(x[p][j],x[i][j]);
                    swap(inv.x[p][j],inv.x[i][j]);
                }
            }
            LL INV=ksm(x[i][i],mod-2);
//          printf("INV:%lld
",INV);
            for(j=1;j<=n;j++){
                x[i][j]=x[i][j]*INV%mod;
                inv.x[i][j]=inv.x[i][j]*INV%mod;
//              printf("x%d %d:%d
",i,j,inv.x[i][j]);
            }
            for(j=1;j<=n;j++){
                if(j==i)continue;
                LL tmp=(mod-x[j][i])%mod;
                for(k=1;k<=n;k++){
                    (x[j][k]+=x[i][k]*tmp%mod)%=mod;
                    (inv.x[j][k]+=inv.x[i][k]*tmp%mod)%=mod;
                     
                }
            }
        }
        return inv;
    }
    void tran(){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                swap(x[i][j],x[j][i]);
        return;
    }
}a,b,c;
void Debug(Mat a){
    printf("Debug
");
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            printf("%d ",a.x[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
    printf("fin
");
    return;
}
//Matrix
int mp[mxn][mxn];
int vis[mxn],Link[mxn];
bool DFS(int u){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(mp[u][i] && !vis[i]){
            vis[i]=1;
            if(!Link[i] || (DFS(Link[i])==1)){
                Link[i]=u;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
bool Match(int u,int fa){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(mp[u][i] && !vis[i]){
            vis[i]=1;
            if(Link[i]==fa || (Link[i]>fa && Match(Link[i],fa))){
                Link[i]=u;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
//BP
int ans[mxn];
void Build(){
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            mp[i][j]=c.x[i][j]?1:0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof vis);
        if(!DFS(i)){
            printf("NIE
");
            return;
        }
    }
    printf("TAK
");
    for(i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof vis);
        Match(i,i);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)ans[Link[i]]=i;
    for(i=1;i<=n;i++)printf("%d
",ans[i]);
    return;
}
//
int main(){
    int i,j;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            a.x[i][j]=read();
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            b.x[i][j]=read();
//  Debug(a);
    a=a.Gauss_inv();
    c=b*a;
//  Debug(c);
    c.tran();
    Build();
    return 0;
}