Bzoj4031 [HEOI2015]小Z的房间

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Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

Source

数学问题高斯消元行列式 Matrix-Tree定理

看上去像一道矩阵树裸题，唯一的难点在于模数10^9不是质数，不能求逆元。

消元的时候，我们需要在模意义下把某个位置消到0。如果不能用逆元的话，还有一个巧妙的方法——辗转相除。

也就是把扩展欧几里得应用到了矩阵上。

有些神奇

F是正负标记。矩阵交换某两行时，行列式值变负(蒟蒻博主刚刚才知道）

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9;//
const int mx[5]={0,1,0,-1,0};
const int my[5]={0,0,1,0,-1};
const int mxn=400;
int n,m;
int f[mxn][mxn];
LL Gauss(int n){
    int i,j,k,F=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        printf("i:%d
",i);
        int p=i;
        if(!f[i][i]){
            for(j=i+1;j<=n;j++)
                if(f[j][i]>f[p][i]){p=j;break;}
            F=-F;
            for(j=i;j<=n;j++)
                swap(f[p][j],f[i][j]);
        }
        if(!f[i][i]){printf("i!:%d
",i);return 0;}
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            while(f[j][i]){//辗转相除消到0 
                LL x=f[j][i]/f[i][i];
                for(k=i;k<=n;k++){
                    f[j][k]=((f[j][k]-x*f[i][k]%mod)+mod)%mod;
                }
                if(!f[j][i])break;
                F=-F;
                for(k=i;k<=n;k++)swap(f[j][k],f[i][k]);
            }
        }
    }
    LL res=1;
    for(i=1;i<=n;i++){res=res*f[i][i]%mod;}
    res=(res*F+mod)%mod;
    return res;
}
char mp[mxn][mxn];
int id[mxn][mxn],cnt=0;
void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(mp[i][j]=='.')id[i][j]=++cnt;
    return;
}
int main(){
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%s",mp[i]+1);
    init();
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(mp[i][j]!='.')continue;
            for(int k=1;k<=4;k++){
                int nx=i+mx[k],ny=j+my[k];
                if(nx>0 && nx<=n && ny>0 && ny<=m){
                    if(mp[nx][ny]=='.'){
                        int u=id[i][j],v=id[nx][ny];
//                        printf("u:%d v:%d
",u,v);
                        f[u][u]++;
                        f[u][v]--;
                    }
                }
            }
        }
    printf("St
");
    LL ans=Gauss(cnt-1);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}