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数学问题 计算几何

好题好题。

一对坐标可以列出两个方程，两对坐标就可以解出一组四个量。

随机选两个点，解出四个参数，O(n)验证一遍。由于最少有一半的点是正确记录的，随机选点找到正确答案的概率不会小于1/4，错误概率不会大于3/4，所以随机选个几十次，正确率就上升到99%+了。

——什么？这样你也没选到正确的点？

——非洲部落欢迎你

用计算几何的知识可以轻松地解出四个参数：

角度：转化后两点成的直线与转化前两点成的直线的夹角即为答案，我们利用atan2(x,y)求解。

倍数：转化后两点的距离/转化前两点的距离。

x,y：直接减。

　　——by ShinyaLicone

你也许会有可以用解析几何强行解的错觉。

那只是错觉。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const double eps=1e-4;
const double pi=cos(-1.0);
const int mxn=100010;
struct point{
    double x,y;
    point(){}
    point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
    point operator + (const point &b){return point(x+b.x,y+b.y);}
    point operator - (const point &b){return point(x-b.x,y-b.y);}
    point operator * (const double v){return point(x*v,y*v);}
    point operator / (const double v){return point(x/v,y/v);}
    double operator * (const point &b){return x*b.x+y*b.y;}
}a[mxn],b[mxn];
inline double Cross(const point &a,const point &b){
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
inline double angle(const point a){
    return atan2(a.y,a.x);
}
inline double Dist(const point &a,const point &b){
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
//

int n;
double ang,dx,dy,sc;
point spin(point a,double ang){
    return point(a.x*cos(ang)-a.y*sin(ang),a.x*sin(ang)+a.y*cos(ang));
}
void Calc(int x,int y){
    ang=angle(b[y]-b[x])-angle(a[y]-a[x]);
    sc=Dist(b[y],b[x])/Dist(a[y],a[x]);
    point res=spin(a[x],ang)*sc;
    dx=b[x].x-res.x;
    dy=b[x].y-res.y;
    return;
}
bool check(){
    int c1=0,c2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        point res=spin(a[i],ang)*sc+point(dx,dy);
//        printf("res:%.3f %.3f
",res.x,res.y);
        if(fabs(b[i].x-res.x)<eps && fabs(b[i].y-res.y)<eps)c1++;//right
            else c2++;//wrong
        if(c2*2>n)return 0;
    }
    return 1;
}
int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
        scanf("%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y);
    }
    if(n==1){
        printf("%.12lf
%.12lf
%.12lf %.12lf
",0.0,1.0,b[1].x-a[1].x,b[1].y-a[1].y);
        return 0;
    }
    srand(19260817);
    int T=50;
    while(T){
        T--;
//        printf("T:%d
",T);
        int a=((rand()%n+1)+(rand()%n+1)+(rand()%n+1))%n+1;
        int b=((rand()%n+1)+(rand()%n+1)+(rand()%n+1))%n+1;
        if(a==b)continue;
//        printf("calc:%d %d
",a,b);
        Calc(a,b);
//        printf("res:%.12lf %.12lf %.12lf %.12lf
",ang,sc,dx,dy);
        if(check()){
            printf("%.10lf
%.10lf
%.10lf %.10lf
",ang,sc,dx,dy);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}