51nod1055 最长等差数列

基准时间限制：2 秒 空间限制：262144 KB 分值: 80 

N个不同的正整数，找出由这些数组成的最长的等差数列。

 

 

例如：1 3 5 6 8 9 10 12 13 14

等差子数列包括(仅包括两项的不列举）

1 3 5

1 5 9 13

3 6 9 12

3 8 13

5 9 13

6 8 10 12 14

 

其中6 8 10 12 14最长，长度为5。

 

 

Input

第1行：N，N为正整数的数量(3 <= N <= 10000)。
第2 - N+1行：N个正整数。(2<= A[i] <= 10^9)

Output

最长等差数列的长度。

Input示例

10
1
3
5
6
8
9
10
12
13
14

Output示例

5

动态规划  线性DP

注意到是“由这些数组成的”等差序列，也就是原数列没有顺序限制

将数列从小到大排序，设$ f[i][j] $为 “末尾两项是$ a[j] $和$ a[i] $的等差数列”的最长长度。

这个状态设计挺巧妙的，既记录了位置信息，又记录了公差。

然后从$1$到$n$枚举$i$，再枚举$ j $和$ k $，当满足 $ a[j]-a[k] = a[i]-a[j] $时，可以由$ f[j][k] $转移到$ f[i][j] $

这样做是$ O(n^3) $的。

注意到数列已经排好序了，转移条件是 $ a[k]+a[i] == a[j] + a[j] $，其中蕴藏着神秘又美丽的单调性

所以可以枚举 j，用双指针维护i和k，这样复杂度就降到 $ O(n^2)$了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mxn=10002;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
int a[mxn];
short f[mxn][mxn];
int main(){
    int i,j;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    int ans=2;
    for(i=1;i<n;i++){
        j=i-1;
        for(int k=i+1;k<=n && j>0;k++){
            while(j && a[k]+a[j]>a[i]+a[i])j--;
            if(j && a[k]+a[j]==a[i]+a[i]){
                f[k][i]=(f[i][j]==0)?3:(f[i][j]+1);
                ans=max(ans,(int)f[k][i]);
            }
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}