数学整合：为10天后的考试准备！
1.1:欧几里得算法（位运算）
目前接触到的最快的求GCD的算法，而且不算太长，值得一记（虽然没有什么题目卡GCD吧。。。）
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstdlib> 4 #include<algorithm> 5 #define man 10000000 6 #define sc(x) scanf("%d",&x) 7 using namespace std; 8 int n,x,y; 9 inline int gcd(int a,int b) 10 { 11 if(!a||!b) 12 return a^b; 13 int i=0,j=0; 14 while(!(a&1)) 15 a>>=1,i++; 16 while(!(b&1)) 17 b>>=1,j++; 18 while(a!=b) 19 { 20 if(a<b) 21 a^=b,b^=a,a^=b; 22 a-=b; 23 while(!(a&1)) 24 a>>=1; 25 } 26 return a<<min(i,j); 27 } 28 int main() 29 { 30 for(;;) 31 { 32 sc(x);sc(y); 33 cout<<gcd(x,y)<<endl; 34 } 35 return 0; 36 }
1.2:普通版
代码简洁，实用！
1 //只打出主要的部分: 2 3 int gcd(int a,int b) 4 { if(b==0) return a; 5 else return gcd(b,a%b); 6 }
2:扩展欧几里得算法
重点知识！必须牢记！还要知道各个变量的含义！
扩展欧几里得算法实质求的是 ax+by=c=k*gcd(a,b)
所以我们求的是 ax+by=gcd(a,b)
求出之后判断 c%gcd(a,b)是否等于0
若不能被整除，则代表无解；
若ax+by=gcd(a,b)的解为(x’,y’)，则ax+by=c的解(x,y)=(c/gcd(a,b)*x’, c/gcd(a,b)*y’)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define man 110000 3 #define sc(x) scanf("%lld",&x) 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 LL a,b,k,x,y; 7 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) 8 { 9 if(b==0) 10 { 11 x=1;y=0; 12 return a; 13 } 14 else 15 { 16 LL ret=exgcd(b,a%b,x,y); 17 LL t=x; 18 x=y; 19 y=t-(a/b)*y; 20 return ret; 21 } 22 } 23 int main() 24 { 25 sc(a);sc(b);sc(k); 26 LL d=exgcd(a,b,x,y); 27 if(k%d!=0) 28 printf("No "); 29 else 30 { 31 x=x*(k/d); 32 y=(k-a*x)/b; 33 cout<<x<<" "<<y<<endl; 34 } 35 return 0; 36 }
3：快速幂
这个实在没什么好讲的了。。。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define sc(x) scanf("%d",&x) 3 using namespace std; 4 int n,m; 5 int p,ans=1; 6 void bPow(int a,int b,int p)//Binary_Pow 7 { int base=a; 8 while(b) 9 { 10 if(b&1) ans=ans%p*base; 11 base=base*base%p; 12 b>>=1; 13 } 14 } 15 int main() 16 { 17 sc(n);sc(m);sc(p); 18 bPow(n,m,p); 19 cout<<ans<<endl; 20 return 0; 21 }
4:快速乘
也没什么讲的，就是把快速幂的乘号变成加号（效率不错）
1 //快速乘相当于乘法，例 3 5 10 =3*5%10 2 #include<bits/stdc++.h> 3 #define sc(x) scanf("%d",&x) 4 using namespace std; 5 int n,m; 6 int p,ans=0; 7 void bAdd(int a,int b,int p) 8 { int base=a; 9 while(b) 10 { 11 if(b&1) ans=(ans+base)%p; 12 base=(base+base)%p; 13 b>>=1; 14 } 15 } 16 int main() 17 { 18 sc(n);sc(m);sc(p); 19 bAdd(n,m,p); 20 cout<<ans<<endl; 21 return 0; 22 }
5.乘法逆元 a*n ≡ 1（mod p）
5.1当p为素数时，我们可以直接使用费马小定理操作：
使用快速幂
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline long long bpow(long long a,long long b,long long mod) { long long base=a,ans=1; while(b) { if(b&1) ans=(ans*base)%mod; base=(base*base)%mod; b>>=1; } return ans; } void write(long long z)//快输 { char r[1001011]; long long len=0; if(!z) { putchar(48); putchar(' '); return; } for(;z;z/=10)r[++len]=z%10; while(len)putchar(r[len--]+48); putchar(' '); } long long n,p; int main() { scanf("%lld%lld",&n,&p); for(long long i=1;i<=n;i++) write(bpow(i,p-2,p)); return 0; }
5.2使用线性递推式进行求解
可以参照 洛谷 P3811
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long inv[3000010]; long long n,p; int main() { scanf("%lld%lld",&n,&p); inv[1]=1; printf("1 "); for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(p-(p/i))*inv[p%i]%p,printf("%lld ",inv[i]);//需牢记递推式 return 0; }
5.3使用欧几里得算法进行求解
实质求 ax+py=1 中的 x
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 int n,mod; 6 inline int read() 7 { 8 char c=getchar();int flag=1,x=0; 9 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();} 10 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar(); return x*flag; 11 } 12 int x,y; 13 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 14 { 15 if(b==0) 16 { 17 x=1,y=0; 18 return a; 19 } 20 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 21 int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y; 22 return r; 23 } 24 int main() 25 { 26 n=read(),mod=read(); 27 for(int i=1;i<=n;i++) 28 { 29 int g=exgcd(i,mod,x,y); 30 while(x<0) x+=mod; 31 printf("%d ",x); 32 } 33 return 0; 34 }
6.欧拉函数
欧拉函数其实较好理解，但需要记住一些结论
摘自：http://blog.csdn.net/w144215160044/article/details/51158735
欧拉函数详解 1.对一个正整数N，欧拉函数是小于N且与N互质的数的个数.。 2.例如φ(24)=8，因为1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23均和 24 互质。 3.φ(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*......(1-1/pn) 其中(p1.....pn)为N的素因子 欧拉函数的基本性质： ① N是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身） ② 除了N=2,φ(N)都是偶数. ③ 小于N且与N互质的所有数的和是φ(n)*n/2。//感觉很重要...但又感觉用不到 ④ 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。 ⑤ 当N为奇数时，φ(2*N)=φ(N) ⑥ 若N是质数p的k次幂，φ(N)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。 ⑦ 当N是质数时，φ(N) = N-1
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define man 110000 3 #define sc(x) scanf("%d",&x) 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 int n; 7 int p[man]; 8 inline void ola() 9 { 10 for(int i=1;i<=n;i++) 11 p[i]=i; 12 for(int i=2;i<=n;i++) 13 { 14 if(p[i]==i) 15 { 16 for(int j=i;j<=n;j+=i) 17 p[j]=p[j]/i*(i-1);//或p[j]-=p[j]/i; 18 } 19 } 20 } 21 int main() 22 { 23 sc(n); 24 ola(); 25 for(int i=1;i<=n;i++) 26 cout<<i<<" "<<p[i]<<endl; 27 return 0; 28 }
1 inline int euler(int n) 2 { int ret=n; 3 for(int i=2;i*i<=n;i++) 4 { if(n%i==0) 5 { ret-=ret/i; 6 while(n%i==0) 7 n/=i; 8 } 9 } 10 if(n>1) 11 ret-=ret/n; 12 return ret; 13 }
7.线性筛素数
这也是考试的时候不能打错的函数。十分重要的函数。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<iostream> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #define man 10000000 7 using namespace std; 8 int n,isprime[man],prime[man],p=0; 9 inline void calcprime() 10 { 11 for(int i=2;i<=n;i++) 12 { 13 if(isprime[i]==0) 14 { 15 prime[++p]=i; 16 } 17 for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++) 18 { 19 isprime[i*prime[j]]=1; 20 if(i%prime[j]==0) 21 break; 22 } 23 } 24 } 25 int main() 26 { 27 memset(isprime,0,sizeof(isprime)); 28 memset(prime,0,sizeof(prime)); 29 cin>>n; 30 calcprime(); 31 for(int i=1;i<=p;i++) 32 cout<<prime[i]<<endl; 33 return 0; 34 }
8.线性筛欧拉函数与素数
很强大。。。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 const int N=1e7+5; 8 int n; 9 bool vis[N]; 10 int p[N],m=0; 11 ll s[N],ans,phi[N]; 12 void sieve(){ 13 phi[1]=1; 14 for(int i=2;i<=n;i++){ 15 if(!vis[i]){ 16 p[++m]=i; 17 phi[i]=i-1; 18 } 19 for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=n;j++){ 20 vis[i*p[j]]=1; 21 if(i%p[j]==0){ 22 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; 23 break; 24 } 25 phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1); 26 } 27 } 28 for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+phi[i]; 29 } 30 int main(){ 31 scanf("%d",&n); 32 sieve(); 33 for(int i=1;i<=m;i++) ans+=s[n/p[i]]; 34 printf("%lld",ans*2-m); 35 }
9.同余方程组（中国剩余定理）
注意：下面是洛谷典型的中国剩余定理的题目（洛谷P1495 曹冲养猪）的代码
但我是用同余方程组解的。
代码中同余方程为：P≡b(mod m)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 inline ll read() 5 { ll x=0;bool f=0;char ch=getchar(); 6 while(!isdigit(ch)){ f=(ch==45);ch=getchar();} 7 while(isdigit(ch)) { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();} 8 return f?(~x+1):x; 9 } 10 ll n,x,y; 11 ll b1,b2,m1,m2; 12 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) 13 { if(b==0) 14 { x=1;y=0;return a;} 15 ll ret=exgcd(b,a%b,x,y); 16 ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*y; 17 return ret; 18 } 19 int main() 20 { n=read(); 21 m1=read();b1=read(); 22 for(int i=1;i<n;i++) 23 { m2=read();b2=read(); 24 ll A=m1,B=m2,k=b2-b1; 25 ll d=exgcd(A,B,x,y); 26 x=(((x*(k/d))%(B/d))+(B/d))%(B/d);//对x取最小正整数解 27 b1=m1*x+b1;//新的b1为原来的P 28 m1=m1/d*m2;//新的m1为LCU（m1,m2） 29 } 30 printf("%lld ",b1);//因为b1始终是上一个同余方程的P，自然for循环结束之后的b1为题目所要求的P了 31 return 0; 32 }