minmax容斥：
用于求解(K)大值的期望，((maxRightarrow min))。
[E(kthmax(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k} imes {|T|-1choose k - 1} imes E(min(T))
]
特殊的，当(K = 1)时
[E(max(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1} imes E(min(T))
]
(minmax)交换也成立。但是如果求(kmin)而且(min)好求，(max)不好求，则需变为((Sum + 1 - k)max)求解。
HAOI
HDU4624(minmax&&容斥套路2)
期望的线性性：
[E(X+Y)=E(X)+E(Y)
]
组合数公式：
[{{-r}choose {y}}=(-1)^y imes {r+y-1choose y}
]
[{nchoose m}=frac{n imes(n-1) imes(n-2) imesdots imes(n-m+1)}{m!}(nin Z)
]
[{n+mchoose k}=sum_{i=0}^{k}{nchoose i} imes{mchoose k-i}
]
[sum_{k=0}^{n}{nchoose k}^2={2nchoose n}
]
[sum_{r=0}^{n}{nchoose r}=2^n
]
[sum_{r=0}^{k}{n+r-1choose r}={n+kchoose k}
]
[sum_{i=1}^n i imes {nchoose i} imes x^i=n imes (1+x)^{n-1}
]
[{nchoose m}\%2==1 <=>(n&m)==m
]
[{nchoose m}=prod_{i=1}^k frac{n+1-i}{i}
]
[sum_{i=1}^n{ichoose m}={n+1choose m+1}
]
[sum_{i=1}^m{nchoose i}=F(n,m)
]
[{egin{cases}{F(i,i)=1}\{F(i,j+1)=F(i,j)+{ichoose j+1}}\{F(i+1,j)=2 imes F(i,j)-{ichoose j}}end{cases}}
]
[F(i,j)=F(i\%p,p-1) imes F(frac{n}{p},frac{k}{p}-1)+{frac{k}{p}choose frac{n}{p}} imes F(n\%p,k\%p)
]
[-2ij={ichoose 2}+{jchoose 2}-{i+jchoose 2}
]
套路：
(1.)利用(dp)(背包)合并容斥系数((1,-1))(把某几项放到状态上，其他的求和)。（有上界的划分数类问题）
(2.)套路1+神奇思路ZOJ4064
(3.)
(4.)CF932 G
(5.)CF348 D
(LGV~lemma)定理：n个起点，n个终点，一一对应，求互不相交的路径有多少种：
[ans=determinant left[ egin{matrix} e(x_1,y_1) & e(x_1,y_2) & cdots & e(x_1,y_n) \ e(x_2,y_1) & e(x_2,y_2) & cdots & e(x_2,y_n) \ vdots &vdots &ddots &vdots \ e(x_n,y_1) & e(x_n,y_2) & cdots & e(x_n,y_n)end{matrix}
ight]
]
(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~e(x,y)=x)到(y)的合法路径条数
(6.)类(LGV~lemma)：n维空间，从((x_1,x_2dots x_n))走到((y_1,y_2dots y_n))方案数$$=(sum y_i-sum x_i)! imes e$$
[e=determinant left[ egin{matrix} frac{1}{(y_1-x_1)!} & frac{1}{(y_1-x_2)!} & cdots & frac{1}{(y_1-x_n)!} \ frac{1}{(y_2-x_1)!} & frac{1}{(y_2-x_2)!} & cdots & frac{1}{(y_2-x_n)!} \ vdots &vdots &ddots &vdots \ frac{1}{(y_n-x_1)!} & frac{1}{(y_n-x_2)!} & cdots & frac{1}{(y_n-x_n)!} end{matrix}
ight]
]
(7.)半容斥：无向连通图个数=总数-不联通的图的个数(基准点计数)传送门,一类套路CF53E Dead Ends。
(8.)对于递推方程：$$f(i)=a imes f(i-p)+b imes f(i-q)$$
可以理解成每次选择花费(a)的代价走(p)步，或者花费(b)的代价走(q)步那么$$f(n)=sum_{i=0}^{lfloor frac{n}{p}
floor} {i+frac{(n-i imes p)}{q}choose i} imes a^i imes b^{frac{(n-i imes p)}{q}}~~~~~~~~~~~(q|(n-i imes p))$$PE 427(q=1)，枚举(p)，复杂度(O(n^2) Rightarrow O(nlogn))
由此可推
[sum_{i=0}^{lfloor frac n k
floor} {n-ichoose i}<=>f(n)=f(n-1)+f(n-k)
]
(10.)考虑组合意义：
[x^k=sum_{i=0}^{x~or~k}{xchoose i} imes i! imes S(k,i)
]