向量:
表示:
(~~~~)可以表示成(xi+yj),用点对((x,y))代表,结构体存储,模长( ho =sqrt {x^2+y^2}),幅角( heta =) 反 ( an frac y x),利用(cmath)库函数(atan2(y,x))求得幅角,(表示求(yover x)的反(tan))。
运算:
(1.)向量与向量的加减运算:两个方向分别进行系数加减。
(2.)向量与实数的乘除运算:两个方向分别乘除这个实数。
(3.)向量与向量的点积(内积): 向量(a)在另向量(b)上的投影(类力的分解)与向量(b)的模长的乘积(返回数字)(|A||B|cos~ heta),满足交换律分配率。
(4.)向量与向量的叉积(外积):向量(a(x_1,y_1)),向量(b(x_2,y_2)),(a imes b)表示((0,0),a,b,a+b),四者围成的平行四边形的带符号面积,(a imes b=x_1y_2-x_2y_1)(矩阵的行列式),若(a)在(b)左面,有向面积为负,反之为正(|A||B|sin~ heta),满足分配率,不满足交换律(交换后答案取反)。
(5.)向量放缩:向量((x,y)/)原长( imes)所需长度。
旋转:
(~~~~a(x,y))可以看成(x*(1,0),y*(0,1))旋转( heta)角变成(a(x imes cos~ heta-y imes sin~ heta,x imes sin~ heta+y imes cos~ heta))
应用:
(1.)点积判断角度:小于零为钝角,大于零为锐角,等于零为直角(向量垂直)。
(2.)叉积判断方向:
(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a imes b>0 = a)在(b)的顺时针方向
(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a imes b<0 = a)在(b)的逆时针方向
(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a imes b=0~=a)在(b)的重合(不一定同向反向)
(3.)取出向量的方向:$$frac{s}{|s|}$$
点、直线、线段的关系:
(1.)点到直线距离:叉积得面积除模长求高。
(2.)点到线段距离:根据与两端点角度判断高是否在线段上,返回高或与最近端点得距离
(3.)判断线段是否相交:从线段一个端点点向另外三个点做差,看线段另一个端点是否被夹在中间,两条线段各做一次。
(4.)求两条直线交点:一条直线与另外两点的叉积面积比=高的比=另一条直线被交点所分的两部分之比。
多边形相关:
(1.)求任意多边形面积:选择一点,向其它点做三角剖分,每个三角形的面积和(用叉积求)就是多边形面积。
(2.)判断点在多边形内部:选择一点,水平向左引一条射线,若与多边形有奇数个交点,那么点在多边形内部。
(3.)求多边形的重心:三角剖分,求每个三角形重心((m_i)表示三角形i的有向面积。):
求三角形重心的方法:
圆相关:
过一点做切线:求点到圆心距离与半径一起运用反三角函数得角度。
不交圆的外公切线内公切线:做垂直辅助线。
其他算法:
平面凸包:按横坐标排序,正反扫两遍凸壳。
合并凸包:合并两个凸包,就是求出两个凸多边形的桥,用桥把凸包链连起来。求桥用旋转卡壳,从最上方旋转找并踵点,若并踵点两个相邻点(共四个)都在并踵点连线的同一侧,那么这是一个桥。
极角排序:用atan2排,用叉积排(选定基准点(通常是原点)),先排象限再排极角。
坐标系变换:点积求在方向上的距离表示横坐标,叉积求高表示纵坐标,除模长得到高(底),再除模长是把(stds)当成单位向量得到常数。 $$stds=newi-newo,as=a-newo$$
旋转卡壳:由于凸包上满足单调性,可以双指针(O(n))扫描,可以求凸包直径/宽度,两凸包的最近最远距离,凸多边形的最小面积/周长外接矩形,合并凸包,凸多边形交(cdots)
半平面交:
注意:
(1.)点加减向量为点(移动),点加减点为向量(产生向量)。
(2.a imes b=-(b imes a),a imes (-b)=-(a imes b))
(3.)使用点积叉积判断关系,要把向量平移到原点。
(4.)不要求不能确定大体位置的点(误差很大),要用其他方式判定。
三维点积叉积:
点积:数字->投影(相似)->距离。
叉积:向量->方向(法向量)(两向量的叉积方向->同时垂直于两个方向)。
直线平面求交:
平面平面求交:
直线直线求交:
球+平面
球+球
过直线做球的切面
向量围绕向量旋转
三维凸包
SGU 110
UVA11275
POJ1259
他可以做什么:
内公切线、外公切线、放缩直线、求切点切线、多边形面积、维护凸包、最小圆覆盖、求点是否在圆上、旋转卡壳。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define point sector
using namespace std;
struct sector{
double x,y;
sector(){x=y=0;}
double len(){return sqrt(x*x+y*y);}
double rotate(double x){return (sector){x*cos(a)-y*sin(a),x*sin(a)+y*cos(a)};}//向量旋转(弧度制)
sector operator + (const sector &a)const{return (sector){x+a.x,y+a.y};}
sector operator - (const sector &a)const{return (sector){x-a.x,y-a.y};}
sector operator * (const double &a)const{return (sector){x*a,y*a};}
sector operator / (const double &a)const{return (sector){x/a,y/a};}
}O;
double eps=1e-8;
int dcmp(double x){
if(fabs(x)<eps) return 0;
else return x<0 ? -1:1;
}
bool cmpx(const point &a,const point &b){//按照横坐标排序
if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
return a.x<b.x;
}
bool cmpj1(const point &a,const point &b){//atan2极角排序,快,精度差
double at1=atan2(a.y,a.x),at2=atan2(b.y,b.x);
if(at1!=at2) return at1<at2;
return a.x<b.x;
}
bool cmpj2(const point &a,const point &b){//叉积极角排序,慢,精度好
double at=dcmp(det(a-O,b-O));//以原点作为基准点
if(at!=0) return at>0;
return a.x<b.x;
}
bool cmpj3(const point &a,const point &b){//先按象限排再按atan2排(雾)
if(quad(a)==quad(b)) return a.x<b.x;
else return quad(a)<quad(b);
}
double dot(sector a,sector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//点积=|a|*|b|*(cos x)
double det(sector a,sector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//叉积
double angle(sector a,sector b){return acos(dot(a,b)/a.len()/b.len());}//上式逆运用求夹角
double dist_pl(point p,point a,point b){//点到直线距离
sector l1=b-a,l2=p-a;
return fabs(det(l1,l2))/l1.len();
}
double dist_ps(point p,point a,point b){//点到线段的距离
if(a==b) return (p-a).len();
sector s1=b-a,s2=p-a,s3=p-b;
if(dcmp(dot(s1,s2))<0) return s2.len();
if(dcmp(dot(s1,s3))>0) return s3.len();
return fabs(det(s1,s2))/s1.len();
}
double pd_s_in(point a1,point b1,point a2,point b2){//判断线段是否相交
double c1=det(a2-a1,b1-a1),d1=det(b2-a1,b1-a1);
double c2=det(a1-a2,b2-a2),d2=det(b1-a2,b2-a2);
return dcmp(c1*d1)<0&&dcmp(c2*d2)<0;
}
point find_s_p(point a1,point b1,point a2,point b2){//找线段与线段交点
sector l1=b2-a2,l2=b1-a1,l3=a1-a2;
double ratio=det(l1,l3)/det(l2,l1);
return a1+l2*ratio;
}
double find_area(point *p,int n){//任意多边形面积,p有序
double ans=0;
for(int i=2;i<n;i++){
ans+=det(p[i]-p[1],p[i+1]-p[1]);
}
return fabs(ans/2);
}
double pd_p_in_s(point a,point *s,int n){//判断点是否在多边形内部
int wn=0,k,d1,d2;
point p1,p2;
for(int i=1;i<=n;i++){
p1=s[i];p2=s[(i+1)>n ?i+1-n:i+1];
if(dcmp(dist_ps(a,p1,p2))==0) return 1;
k=dcmp(det(p2-p1,a-p1));
d1=dcmp(p1.y-a.y);
d2=dcmp(p2.y-a.y);
if(k>0&&d1<=0&&d2>0) wn++;
if(k<0&&d2<=0&&d1>0) wn--;
}
return wn!=0;
}
point newdkr(point newo,point newi,point a){//建立新的直角坐标系
sector stds=newi-newo;
sector as=a-newo;
return (point){dot(stds,as),det(stds,as))}/stds.len()/stds.len();
}
void convexhull(point *p,int n,point *coh,int &m){//求凸包
m=0;
sort(p+1,p+1+n,cmpx);
for(int i=1;i<=n;i++){
while(m>=2&&dcmp(det(coh[m]-coh[m-1],p[i]-coh[m-1]))<=0) m--;
coh[++m]=p[i];
}
int k=m;
for(int i=n-1;i>=1;i--){
while(m>k&&dcmp(det(coh[m]-coh[m-1],p[i]-coh[m-1]))<=0) m--;
coh[++m]=p[i];
}
}
int main(){
return 0;
}
小技巧:
(1.)求一个三角形内部有多少点:三角形每条边一侧的点的交/每条边与原点组成的三角形有多少个点容斥一下。
(2.)三角形有关:讨论凸包