一、问题描述
如右图所示的三自由度机械臂，关节1和关节2相互垂直，关节2和关节3相互平行。如图所示，所有关节均处于初始状态。
要求:
(1) 定义并标注出各关节的正方向；
(2) 定义机器人基坐标系｛0｝及连杆坐标系｛1｝，｛2｝，｛3｝；
(3) 求变换矩阵 , , ；
(4) 根据末端腕部位置 (x, y, z) 返求出对应关节 ， ， ；
(5) 利用软件绘制出机器人模型的三维点线图，并控制机器人腕部沿半径r=0.1的圆弧运动.
图1 3R机器人示意图
二、任务求解
2.1建立坐标系
2.2 变换矩阵
2.2.1 变换求解
（1）连杆坐标系｛1｝——基坐标系｛0｝
原点重合，可绕z轴任意旋转
（2）连杆坐标系｛2｝——连杆坐标系｛1｝
先绕x轴旋转90°，再绕新得到的y轴旋转90°，然后沿新得到的y轴平移 ，最后得到的坐标系可绕z轴任意旋转
（3）连杆坐标系｛3｝——连杆坐标系｛2｝
绕z轴旋转-90°，再沿新得到的y轴平移 ，最后得到的坐标系可绕z轴任意旋转
2.2.2 物理意义求解
变换矩阵的前三列，每列值对应的数为变换坐标系的坐标轴x、y、z在基坐标系中的坐标位置，第四列为变换坐标系的原点在基坐标系中的坐标位置，第四行为齐次补行数据，则可根据坐标系的位置直接列出下式：
可见，两种方式的结果表达式一致。
2.2.3 变换矩阵终解
2.3 逆运动学求解
2.3.1 矩阵逆推导
由连杆坐标系｛3｝到基座坐标系｛0｝的齐次矩阵可以表示为
末端执行器的位置在基座坐标系｛0｝中的描述为
末端执行器的位置在连杆坐标系｛3｝中的描述为
关系为：
根据矩阵对应元素相等，由MATLAB计算可得可得下面等式：
x=-(7*cos(a2)*sin(a1))/25-(7*cos(a2)*sin(a1)*sin(a3))/20(7*cos(a3)*
sin(a1)*sin(a2))/20
y=(7*cos(a1)*cos(a2))/25+(7*cos(a1)*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a1)*cos(a3)*sin(a2))/20
z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100
由
则：
由对应元素相等，得：
(x*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) + (y*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=0 (y*cos(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2) - (x*sin(a1))/(cos(a1)^2 + sin(a1)^2)=(7*cos(a2))/25+(7*cos(a2)*sin(a3))/20+(7*cos(a3)*sin(a2))/20 z=(7*sin(a2))/25 + (7*sin(a2)*sin(a3))/20 - (7*cos(a2)*cos(a3))/20 + 47/100
综上可得，
2.3.2 几何推导
在x0y平面，将末端执行器的轨迹投影到该平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：
由图易见， 为末端执行器投影到xoy平面x与y的夹角，（逆时针为正）,
在y0z平面，将末端执行器的轨迹投影到该平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：
将末端执行器的轨迹投影到下图所示平面，蓝色表示原位置，橘色代表移动后的位置，黑色坐标系为基坐标系，如下图：
构建直角三角形，可得：
综上，得各关节角与坐标位置的关系为：
三、D-H模型法求解
3.1 坐标系建立
0号杆件固连在基座上，建立基坐标系
3.2 D-H参数
3.3 各关节变换矩阵
若已知四个参数就完全确定了两连杆之间的相对关系。对此，我们建立基坐标系和连杆运动坐标系之间的变换关系。对于旋转关节可以确定以下的齐次矩阵
即先绕x轴旋转，然后沿x轴移动，再沿基坐标系的z轴移动d，最后绕z轴旋转
将参数代入上式，由此可以得到各关节变换矩阵
3.4 求逆变换
同2.3.1
四、软件仿真
4.1 程序代码
用软件python(x,y)编写代码，如下：
4.2 仿真结果
图7 仿真结果