CF1349F1

CF1349F1 & 2 [* so hard]

定义好序列为：

• 所有元素都是正整数。
• 假设 (k e 1) 且 (k) 在序列中出现过，那么 (k-1) 在 (k) 最后一次出现的位置之前出现过。

设 (f_p(i)) 为 “好序列” (p) 中 (i) 的出现次数，你需要对于 (i=1,2,3...n) 求出：

[sum_{pin S} f_p(i) ]

其中 (S) 表示好序列构成的集合。

• F1: (nle 5000)
• F2: (nle 10^5)

答案对 (998244353) 取模。

Solution

• F1

神仙映射：

对于一个长度为 (n) 的排列我们在 (a_i) 和 (a_{i+1}) 之间根据大小关系插入 < 号和 > 号，然后定义 (f_{a_i}) 的权值为前面的小于号数量 (+1)，可以验证这样生成的序列为好序列：

这是因为考虑连续的 > 号，他们对应的都是相同的权值，他们在我们对应的序列中出现位置单调递减，那么对于一个 < 号，设出现在 (a_{i},a_{i+1}) 之间，那么 (a_i) 必然是相同的权值中的第一个元素，而 (a_{i+1}) 则为此类元素中的最后一个位置，同时显然为 (a_i<a_{i+1}) 此限制最严。

类似的，我们对于一个好序列，依次枚举每个权值 (i) 然后根据出现的位置从后往前拿出每个权值对应的位置，这样就可以还原我们的排列了，于是每个好序列与一个排列一一对应。

接下来我们对排列考虑此问题，(f_p(i)) 更形象化的描述是排列中单调递减的段中的第 (i) 个段的元素数量。

现在考虑对于 (k) 计算答案，我们依次枚举这个段里面的每个元素，对于元素 (j) 他相当于钦定前 (1sim j) 中有 (k-1) 个 < 号，然后剩余位置任意贡献即可。

此时内部的权值是任意选/独立贡献的，我们只需要考虑 (1sim i) 中的排列存在 (k-1) 个 < 号的方案数然后就可以映射上去了。

设 (f_{i,j}) 表示 (1sim i) 的存在 (j) 个 < 号的方案数，不难发现答案即为：

[Ans[k]=sum_i f_{i,k-1}inom{n}{i}(n-i)! ]

(mathcal O(n^2)) 的通过 dp 以预处理 (f_{i,j}) 即可通过此版本。

• F2

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