Codeforces.871D.Paths(莫比乌斯反演 根号分治)

题目链接

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(Description)

给定(n)，表示有一张(n)个点的无向图，两个点(x,y)之间有权值为(1)的边当且仅当(gcd(x,y) eq1)。求(1sim n)任意两点之间的最短路长度的和是多少。两个点不连通最短路长度为(0)。
(nleq10^7)。

(Solution)

具体看这里吧，前面也挺重要的但我不抄了就简单记一下了（好像反而写的很详细了）。
先分类讨论一下，然后记(mn_x)为(x)的最小质因子，主要的问题在于求：$$sum_{x,y}[gcd(x,y)=1][mn_x imes mn_yleq n]$$

反演一下（当然下面这个式子求出来要除以(2)）：$$egin{aligned}上式&=sum_{d=1}^nmu(d)sum_{dmid x}sum_{dmid y}[mn_x imes mn_yleq n]&=sum_{x=1}^nsum_{y=1}^n[mn_x imes mn_yleq n]+sum_{d=2}^nmu(d)sum_{d|x}sum_{d|y}[mn_x imes mn_yleq n]end{aligned}$$

前面部分可以直接拿个桶然后前缀和一下。对于后面的部分，我们考虑：

1. (dleqsqrt n)时，因为(dmid x)，所以有(mn_xleq mn_d)，即一定有(mn_x imes mn_yleq n)。那么合法方案数是(lfloorfrac nd floor^2)。
2. (d>sqrt n)时，设(x=k_1d,y=k_2d)，那么有(k_1,k_2leqsqrt n)。(k_1,k_2 eq1)时，(k_1 imes k_2leq n)显然合法。
   (k)有一个是(1)时，假设是(k_2)，(mn_x imes mn_y)就是(k_1d=x)，显然也是(leq n)。
   (k_1=k_2=1)时，若(d)不是质数，那么(d)一定存在一个因子(leqsqrt n)，那么也有(mn_x imes mn_y=mn_d^2leq n)。
   所以当且仅当(k_1=k_2=1)且(d)为质数时，((x,y))不合法。那么合法方案数就是(lfloorfrac nd floor^2)-1。

那么枚举(d)就可以求出答案啦。

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;

int P[N>>3],phi[N],mu[N],mn[N],cnt[N];

void Init(const int n)
{
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2,cnt=0; i<=n; ++i)
	{
		if(!mn[i]) P[++cnt]=mn[i]=i, phi[i]=i-1, mu[i]=-1;
		for(int j=1,v; j<=cnt&&(v=i*P[j])<=n; ++j)
		{
			mn[v]=P[j];
			if(i%P[j]) phi[v]=phi[i]*(P[j]-1), mu[v]=-mu[i];
			else {phi[v]=phi[i]*P[j], mu[v]=0; break;}
		}
	}
}

int main()
{
	int n; scanf("%d",&n); Init(n);
	LL ans=0,t2=0,t3=0,tot=0;
	for(int i=2,half=n>>1; i<=n; ++i) if(mn[i]!=i||i<=half) ++tot, t2+=i-1-phi[i], ++cnt[mn[i]];
	tot=tot*(tot-1)>>1;//总合法对数 
	for(int i=2; i<=n; ++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(int i=2,half=n>>1; i<=n; ++i) if(mn[i]!=i||i<=half) t3+=cnt[n/mn[i]];
	for(int d=2,m=sqrt(n); d<=n; ++d)
	{
		LL tmp=1ll*(n/d)*(n/d);
		if(d>m&&mn[d]==d) --tmp;
		t3+=mu[d]*tmp;
	}
	t3>>=1, ans+=t2+(t3<<1)+(tot-t2-t3)*3;
	printf("%I64d
",ans);

	return 0;
}