一个经典的随机增量法，具体可以看这里，只记一下大体流程。
一个定理：如果一个点(p)不在点集(S)的最小覆盖圆内，那么它一定在(Sigcup p)的最小覆盖圆上。
所以假设我们有了前(i-1)个点的最小覆盖圆，那么只需要判断(i)在不在其内，就可以确定(i)是否在当前最小覆盖圆上。
算法流程：
- 设前(i-1)个点的最小覆盖圆是(C)，判断第(i)个点是否在(C)内。如果是，则(i)个点的最小覆盖圆也是(C)；否则进行(2)。
- 确定(p_i)为最小覆盖圆上的一个点。枚举点(j)，判断(j)是否在当前最小覆盖圆内。如果是，跳过；否则确定(p_j)也是最小覆盖圆上的一个点，圆心为线段((p_i,p_j))的中点，半径为(frac{dis(p_i,p_j)}{2})，进行(3)。
- 枚举点(k)，判断(k)是否在当前最小覆盖圆内。如果是，跳过；否则确定当前最小覆盖圆为((p_i,p_j,p_k))的外接圆。
算法的复杂度分析：（随机数据下，）因为只需要确定三个点，(n)个点中每个点在圆上的概率是(frac3n)。
那么第一层循环的复杂度(T_1(n)=O(n)+sum_{i=1}^nT_2(i))，第二层循环复杂度(T_2(n)=O(n)+sum_{i=1}^nT_3(i))，第三次循环复杂度为(T_3(n)=O(n))。
化简一下就可以得出算法的均摊复杂度为(O(n))。
注意要保证点的顺序是随机的。
具体细节：
如何求三个点((p_i,p_j,p_k))的最小覆盖圆：
就是用一个性质。。垂直平分线（中垂线）上的点到线段两边点的距离相同。那么求出两条线段的垂直平分线，求个交点就行了。
垂直平分线的求法就是先求一个中点（坐标相加除以(2)），然后做垂线（将另一个两点之间的向量旋转(90^{circ})）。
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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Vec
{
double x,y;
Vec(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
Vec operator +(const Vec &a)const {return Vec(x+a.x, y+a.y);}
Vec operator -(const Vec &a)const {return Vec(x-a.x, y-a.y);}
Vec operator *(const double a)const {return Vec(x*a, y*a);}
double operator *(const Vec &a)const {return x*a.y-y*a.x;}
Vec Rotate_90()const {return Vec(y,-x);}
double len()const {return sqrt(x*x+y*y);}
double len2()const {return x*x+y*y;}
}p[N];
typedef Vec Point;
struct Line
{
Point p; Vec v;
Line(Point p,Vec v):p(p),v(v) {}
Line PerpendicularBisector()const//垂直平分线=-=
{
return Line((p+p+v)*0.5,v.Rotate_90());
}
Point Intersection(const Line &l)const
{
return p+v*((l.v*(p-l.p))/(v*l.v));
}
};
inline double read()
{
double x=0,y=0.1,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);x=x*10+c-48,c=gc());
for(c=='.'&&(c=gc());isdigit(c);x+=y*(c-48),y*=0.1,c=gc());
return x*f;
}
Point CalcCircle(const Point &a,const Point &b,const Point &c)
{
// Line A=Line(a,b-a).PerpendicularBisector(),B=Line(a,c-a).PerpendicularBisector();
Line A=Line((a+b)*0.5,(b-a).Rotate_90()),B=Line((a+c)*0.5,(c-a).Rotate_90());
return A.Intersection(B);
}
void Solve(const int n)
{
srand(330), std::random_shuffle(p+1,p+1+n);//话说这个srand不够随机啊= =
Point O=p[1]; double R=0;
for(int i=2; i<=n; ++i)
if((p[i]-O).len2()>R)
{
O=p[i], R=0;
for(int j=1; j<i; ++j)
if((p[j]-O).len2()>R)
{
O=(p[i]+p[j])*0.5, R=(p[i]-O).len2();
for(int k=1; k<j; ++k)
if((p[k]-O).len2()>R)
O=CalcCircle(p[i],p[j],p[k]), R=(p[k]-O).len2();
}
}
printf("%.2f %.2f %.2f
",O.x,O.y,sqrt(R));
}
int main()
{
int n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) p[i].x=read(),p[i].y=read();
// for(int i=1; i<=n; ++i) p[i]=(Point){read(),read()};//声明构造函数之后再这么用，貌似。。= = 不同编译器结果不同。。
Solve(n);
return 0;
}