Interval Tree（区间树）
网上好多人把区间树当成线段树。。线段树就叫Segment Tree好吧。只有两篇
（现在三篇了）和wiki是真的（也都没有具体的代码）。建议直接看wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree （pdf: 链接：https://share.weiyun.com/3WXYiU6b 密码：5c75zn）
https://blog.csdn.net/qiaojialin/article/details/78213061
https://www.cnblogs.com/jcli/p/4574824.html
但是这个东西，没人知道不是没有道理的，是真的，没用。
Interval Tree大概分为三种：Centered Interval Tree、Augmented Tree、Medial- or Length-oriented Tree。下面说的为Centered Interval Tree。
实现的功能
给定(n)个区间(线段)。对于询问给定的一个区间或点，可以在(O(log n+m))时间内求出与询问区间相交/包含询问点的所有区间（(m)是答案区间的数量）。
构造：(O(nlog n))；空间复杂度：(O(4n))。
构造
区间树（Centered Interval Tree）是一个二叉树（上面csdn那篇写错了）。
依据所有线段确定一个中间点(x_{center})。设每个区间的端点为(l,r)。对于(r<x_{center})的区间分到左子树中构造；(l>x_{center})的区间分到右子树中继续构造；剩下的就是包含(x_{center})的区间，分别按(l)从小到大、(r)从大到小排序后的两种序列存在当前节点中。
也就是每个节点包含五个信息（原文比较清楚）
- A center point（(x_{center})）
- A pointer to another node containing all intervals completely to the left of the center point（(lson)）
- A pointer to another node containing all intervals completely to the right of the center point（(rson)）
- All intervals overlapping the center point sorted by their beginning point（以下记为(S_a)）
- All intervals overlapping the center point sorted by their ending point（以下记为(S_b)）
(x_{center})的选取要保证划分到左右子树中的区间数各不超过(n/2)，所以可以取所有端点的中位数作(x_{center})（可以用nth_element做到(O(n))）。
想一个(log)建树好像是有点麻烦...
查询包含点(p)的区间
从根节点开始，若(p<x_{center})，则查询当前节点及左子树；若(p>x_{center})，查询当前节点及右子树；否则(p=x_{center})，当前节点所有区间就是答案。
查询一个节点时，若(p<x_{center})则该节点所有区间的(r>p)，所以只需枚举(S_a)（按左端点排好序）中的区间就可以找到包含(p)的所有区间。
所以复杂度(O(log n+m))。
查询与给定区间相交的所有区间
设询问区间为([q_l,q_r])。它与原有区间([l,r])相交有两种可能：(l)、(r)至少有一个点在([q_l,q_r])中；([l,r])完全包含([q_l,q_r])。
第一种情况，可以建一棵线段树（csdn那篇用的B+树，没有必要吧），将每个区间插入到(l,r)两个位置去，每个节点存(l)或(r)在该节点区间内的所有区间。查询时区间查([q_l,q_r])即可（注意去重，可以合并时归并方便去重，也可以打标记）。复杂度(O(nlog n),O(log n+m))。
第二种情况，建一个Interval Tree。用([q_l,q_r])中任意一点(p)求与(p)相交的所有区间，然后判断这些区间是否包含([q_l,q_r])。这些区间一定也是答案区间（有可能与情况一重复），所以复杂度仍是(O(log n+m))。
扩展到高维
对于(N)维“区间”的查询依旧可以用Interval Tree。
基本同查询与给定区间相交的所有区间。首先建一个(N)维Range Tree存所有“区间”，对于每次查询先找出存在某个点 在给定(N)维询问区间内 的所有区间，即第一种情况。
对于第二种情况，建(N)棵Interval Tree解决每一维，(N)维答案的交集就是最终答案。
那个(N)维Range Tree，我以为是什么神奇的东西，原来就是。。(N)维线段树（线段树套线段树套线段树...）。。所以复杂度是(O(log^{N}n+Nlog n+Nm))的。
那个(N)维Range Tree可能可以用K-D Tree写。
应用
挺...蠢局限的。
首先它的作用可以用离线+树状数组/二维线段树实现，可能用到的情况是：强制在线并卡(log^2n)算法。其次它复杂度与答案区间数有关，需要题目保证(m)不大，不能任意询问。
例题：2020-2021 ICPC Brazil Subregional Programming Contest. M. Machine Gun（1.2s来卡(log^2n)的强制在线还就一主席树题够蠢的）