BZOJ.2820.YY的GCD(莫比乌斯反演)

题目链接

总感觉博客园的(Markdown)很。。(gouzhi)，可以看这的。

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(Description)
　　求$$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)为质数]$$

(Solution)

[ egin{aligned} Ans &=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)为质数]\ &=sum_{p}sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=p]\ &=sum_{p}sum_{i=1}^{lfloor{frac{n}{p}} floor}sum_{j=1}^{lfloor{frac{m}{p}} floor}[(i,j)=1]\ &=sum_{p}sum_{d=1}^{min(lfloor{frac{n}{p}} floor,lfloor{frac{m}{p}} floor)}mu(d)lfloorfrac{n}{pd} floorlfloorfrac{m}{pd} floor end{aligned} ]

　　带着(pd)不舒服啊，令(t=pd)，则

[ egin{aligned} Ans &=sum_{p}sum_{d=1}^{min(lfloor{frac{n}{p}} floor,lfloor{frac{m}{p}} floor)}mu(d)lfloorfrac{n}{pd} floorlfloorfrac{m}{pd} floor\ &=sum_psum_{p|t}mu(frac{t}{p})lfloorfrac{n}{t} floorlfloorfrac{m}{t} floor\ &=sum_{t=1}^{min(n,m)}lfloorfrac{n}{t} floorlfloorfrac{m}{t} floorsum_{p|t}mu(frac{t}{p}) end{aligned} ]

　　前面那部分好求，后面那部分如果能用前缀和求的话就容易了。事实上也是可以的。
　　令(F(t)=sum_{p|t}mu(frac{t}{p}))，那么$$Ans=sum_{t=1}^{min(n,m)}F(t)lfloorfrac{n}{t} floorlfloorfrac{m}{t} floor$$
　　对于每个(p)我们只需要暴力枚举约数(d)更新(F(pd))就可以了。
　　复杂度(转自ppt by (popoqqq))：由$$lim_{n ightarrowinfty}sum_{i=1}^nfrac{1}{i}=ln n+r$$
　　易知，每个质数更新时是均摊(O(log n))的，而质数个数恰好为(O(frac{n}{log n}))，所以暴力枚举+维护前缀和的时间复杂度为(O(n))。
　　计算复杂度自然就是(O(sqrt{n}))了。

　　另外(F(t)=sum_{p|t}mu(frac{t}{p}))是可以一起线性筛出来的。参考。

[ F(p*k)= egin{cases} mu(k), & pmid k\ mu(k)-F(k), & p mid k end{cases} ]

　　对于这个式子，(F(p*k)=sum_{p'|p*k}mu(frac{p*k}{p'}))

• (pmid k)时，有(p*k)的因子(p)的次数(geq 2)。
  　　1.(p'=p)时，即(mu(k))。
  　　2.(p' eq p)时，因为(p)的次数(geq 2)，所以为(0)。
  　　因此此时答案为(mu(k))。
• (p mid k)时，有(p*k)的质因子(p)的次数为(1)。
  　　1.(p'=p)时，也是(mu(k))。
  　　2.(p' eq p)时，此时(p')与(p)互质，由(mu)的积性函数性质，可化为(sum_{p'|k}mu(frac{k}{p'})mu(p))，(mu(p)=-1)，所以为(-sum_{p'|k}mu(frac{k}{p'})=-F(k))。
  　　因此此时答案为(mu(k)-F(k))。
  　　注意对于每个质数(p)，(F(p)=1)；(F(1)=0)。

线性筛(F(t))：

//131680kb	3380ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1e7+1;

int cnt,P[1000005],f[N+2],mu[N+2],sum[N+2];
bool Not_p[N+2];

void Make_Table()
{
	mu[1]=1;/*f[1]=0;*/
	for(int i=2; i<N; ++i)
	{
		if(!Not_p[i]) P[++cnt]=i,mu[i]=-1,f[i]=1;
		for(int j=1; j<=cnt&&i*P[j]<N; ++j)
		{
			Not_p[i*P[j]]=1;
			if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i], f[i*P[j]]=mu[i]-f[i];
			else {mu[i*P[j]]=0, f[i*P[j]]=mu[i]; break;}
		}
	}
	for(int i=1; i<N; ++i) sum[i]=sum[i-1]+f[i];
//	for(int i=1; i<=cnt; ++i)
//		for(int j=1; j*P[i]<N; ++j)
//			sum[j*P[i]]+=mu[j];
//	for(int i=2; i<N; ++i) sum[i]+=sum[i-1];
}

int main()
{
	Make_Table();
	int T,n,m; LL res;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m), res=0;
		if(n>m) std::swap(n,m);
		for(int nxt,i=1; i<=n; i=nxt+1)
		{
			nxt=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
			res+=1ll*(sum[nxt]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		}
		printf("%lld
",res);
	}
	return 0;
}

枚举约数：

//131680kb	4388ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1e7+1;

int cnt,P[1000005],mu[N+2];
LL sum[N+2];
bool Not_p[N+2];

void Make_Table()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2; i<N; ++i)
	{
		if(!Not_p[i]) P[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1; j<=cnt&&i*P[j]<N; ++j)
		{
			Not_p[i*P[j]]=1;
			if(i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];
			else {mu[i*P[j]]=0; break;}
		}
	}
	for(int i=1; i<=cnt; ++i)
		for(int j=1; j*P[i]<N; ++j)
			sum[j*P[i]]+=mu[j];
	for(int i=2; i<N; ++i) sum[i]+=sum[i-1];
}

int main()
{
	Make_Table();
	int T,n,m; LL res;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m), res=0;
		if(n>m) std::swap(n,m);
		for(int nxt,i=1; i<=n; i=nxt+1)
		{
			nxt=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
			res+=(sum[nxt]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		}
		printf("%lld
",res);
	}
	return 0;
}