Codeforces.959E.Mahmoud and Ehab and the xor-MST(思路)

题目链接

(Description)

　　有一张(n)个点的完全图，从(0)到(n-1)标号，每两点(i,j)间的边权为(ioplus j)。求其最小生成树边权之和。

(Solution)

　　为方便，以下点从(0)到(n)编号。
　　每个点(x)应和(xoplus lowbit(x))相连，边权为(lowbit(x))（(lowbit(x))会和(0)相连，所以一定能构成树），所以答案为(sum_{i=1}^nlb(i))。
　　继续优化。注意到(lb(i))一定是某个2次幂，所以令(f(i))表示(1leq xleq n)且满足(lb(x)=i)的(x)的个数，则答案为(sum_{i=1}^nf(i) imes i (f(i)>0)=sum_{i=0}^{lfloorlog n floor}f(2^i) imes 2^i)
　　(f(i))显然可以用数位DP算，但是太麻烦了。。
　　一些满足(lb(i)=x)的数，它们间隔至少是(2x)。比如(x=(100)_2)，则(i=100,1100,10100...)(相差(1000))。所以(f(x)=lfloorfrac{n-x}{2x} floor+1 (1leq xleq n,x=2^y))。

---

　　还有DP求(sum_{i=1}^nlb(i))的做法，好长啊...先不看了。

---

#include <cstdio>

int main()
{
	long long n,res=0;
	scanf("%I64d",&n); --n;
	for(long long x=1; x<=n; x<<=1)
		res+=x*((n-x)/(x<<1)+1);
	printf("%I64d
",res);

	return 0;
}