二分查找与二分答案

前言

注意：每个人有每个人的写法。
这个重要且基础的点，虎哥和老姚都以为对方讲了，可谁都没讲。
然而老姚的二分答案我看不懂（请看到的学长解释一下老姚的），然后借鉴了oi-wiki好理解的。

二分查找

二分搜索，也称折半搜索、二分查找，是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。
它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需要到右侧去找就好了；如果中间元素大于所查找的值，同理，右侧的只会更大而不会有所查找的元素，所以只需要到左侧去找。
code:

int Search (int l,int r,int x)
{
      int mid;
      while(l<=r)
      {
            mid=l+((r-l)>>1);
            if(a[mid]<x) mid=l-1;
            else if(a[mid]>x) mid=r+1;
            else if(a[mid]==x) return mid;
      }
      return -1;
}

注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做1，不满足看做0，然后再加一个Check(mid)）。所以，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值，也就是二分答案。

二分答案

要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目（wiki上的）
需要满足以下三个条件:
1.答案在一个固定区间内；
2.可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
3.可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果x是符合条件的，那么有x+1或者x-1也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）

左侧合法的最大值

code:

int Search(int l,int r)
{
      ++r;//左闭右开
      int mid;
      while(l+1<r)//不相邻
      {
            mid=l+((r-l)>>1);
            if(Check(mid)) l=mid;//l一直是合法的
            else r=mid;
      }
      return l;//返回合法
}

为什么左闭右开

因为搜到最后，会这样：

合法	合法	合法	合法	非法	非法	非法
最小值	···	l	mid	r	···	最大值

或

合法	合法	合法	非法	非法	非法	非法
最小值	···	l	mid	r	···	最大值

然后会

合法	合法	合法	非法	非法	非法
最小值	···	lmid	r	···	最大值

或

合法	合法	合法	非法	非法	非法
最小值	···	l	rmid	···	最大值

模拟是正确的，但为什么不是左闭右闭呢？是因为如果答案是最大值，那就wa了(它会返回最大值-1)。

右侧合法的最小值

code

int Search(int l,int r)
{
      --l;//左开右闭
      int mid;
      while(l+1<r)//不相邻
      {
            mid=l+((r-l)>>1);
            if(Check(mid)) r=mid;//r一直是合法的
            else l=mid;
      }
      return r;//返回合法
}

为什么左开右闭

因为搜到最后，会这样：

非法	非法	非法	非法	合法	合法	合法
最小值	···	l	mid	r	···	最大值

或

非法	非法	非法	合法	合法	合法	合法
最小值	···	l	mid	r	···	最大值

然后会

非法	非法	非法	合法	合法	合法
最小值	···	lmid	r	···	最大值

或

非法	非法	非法	合法	合法	合法
最小值	···	l	rmid	···	最大值

模拟是正确的，但为什么不是左闭右闭呢？是因为如果答案是最小值，那就wa了(它会返回最小值+1)。