简要理解ST表

ST表

• 注：ST表需要用到倍增算法；ST表实质上是一种DP

ST表的作用

• 快速查询区间最大值和区间最小值

前提：倍增

• 我们读入了一个长度为n的数列，用a[1]_{a[n]存储。然后我们不由分说地先算出数列中第1}n-1个数的 后两个数（包括它自身）中的最大值,比如说，第一个数后两个数的最大值=max(a[1],a[2])。a[n+1]不存在,所以
  不用计算a[n]后两个数的最大值，计算到a[n-1]就可以（而且必须）停下来了

• 然后我们再算出数列中第1~n-3个数的 后四个数（包括它自身）中的最大值,可以再枚举一遍，但我们有先前算好的结果可以利用：第一个数后四个数的最大值=max(第一个数后两个数的最大值，第三个数后两个数的最大值)

• 依次类推，第一个数后八个数的最大值=max(第一个数后四个数的最大值，第五个数后四个数的最大值)，第一个数后十六个数的最大值=max(第一个数后八个数的最大值，第九个数后八个数的最大值)，……

正题：ST表

• 定义一个数组st[n][x]存储这些值,st[i][j]表示第i个数后面的2^{j(即1<<j)个数（包括第i个数自身）中的最大值，x可以用符合2}x<=n的最大x值（+10防越界），也可以自己定义一个足够用的值（+10防越界）
• st[i][0] 即为 a[i],可以用 st[i][0] 代替 a[i] 存储数列

for(int j = 1;j <= x; ++j ){
	for(int i = 1;i <= n - (1<<j) +1 ; ++ i){
		st[i][j] = std::max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	}
}

解释

• j的循环在最外面

根据转移方程 st[i][j] = max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1])（i<=n-2^j+1,1<=j<=x）,只有算出所有的st[i][j-1]，才能计算st[i][j]。

• i<=n-(1<<j)+1

计算a[i]到a[j]之间的最大值，防止越界，最多只能枚举到a[i]~a[n],
此时n-i+1=2^{j(即1<<j),i=n-2}j+1,所以1<=i<=n-(1<<j)+1。

使用

• 不断分割查询区间，直到剩下的区间长度为0，并把所有分割数的区间对应的最大值 一 一比较
• j从x向1枚举，直到(1<<j）<=区间长度，分割并结束循环，即每次只分割 大于区间长度的一半小于等于区间长度 的一段

int search(int l,int len,int r)
{
    if(l>r) return -0x3f3f3f3f;
    if(len<=0) return -0x3f3f3f3f;
    for(int i=25;i>=0;--i){
        if( (1<<i) <=len )
            return std::max(t[l][i],search(l+(1<<i),len-(1<<i),r));
    }
}

拓展

• 最小值当然也可以，注意search查询越界返回的极小值换成极大值就行