洛谷 P3205

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题目大意

给定一串序列，问有多少种初始序列经过以下操作可以得到此序列：

① 、第一个数直接插入空的当前序列中

② 、对从第二个数开始的每个数，如果它比上一个插入序列的数大，那么将它插入当前序列的最右边

　　如果它比上一个插入序列的数小，那么将它插入当前序列的最左边

解题思路

定义 (dp1[i][j]) 的含义为构成理想区间([i , j]) ，最后一个被放入的是 (i) 的方案数

定义 (dp2[i][j]) 的含义为构成理想区间([i , j]) ，最后一个被放入的是 (j) 的方案数

​ 一、

对于 (dp1)

区间 ([i , j]) 的上一个区间为 ([i + 1 , j])

而构成区间 ([i + 1][j]) 的序列的末尾可能是 (a[i + 1]) ，也可能是 (a[j])

所以：

①.当 (a[i] < a[i + 1]) 时 ， (dp1[i][j] += dp1[i + 1][j])

②.当 (a[i] < a[j]) 时 ， (dp1[i][j] += dp2[i + 1][j])

​ 二、

对于 (dp2)

区间 ([i , j]) 的上一个区间为 ([i , j - 1])

而构成区间 ([i][j - 1]) 的序列的末尾可能是 (a[i]) ，也可能是 (a[j - 1])

①.当 (a[j] > a[i]) 时 ， (dp2[i][j] += dp1[i][j - 1])

②.当 (a[j] > a[j - 1]) 时 ， (dp2[i][j] += dp2[i][j - 1])

最后 $ans = dp1[1][n] + dp2[1][n] $

注意：当 (i = j) 即区间长度为 (1) 时 , 只需让 (dp1 = 1) or (dp2 = 1) 即可

即构造区间长度为 (1) 的方案数只有 (1)

若让 (dp1) 和 (dp2) 都等于 (1) 则相当于构造区间长度为 (1) 的方案数为 (1 + 1 = 2 （×）)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 10 , mod = 19650827;
int n , a[N];
int dp1[N][N] , dp2[N][N];
signed main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i] , dp1[i][i] = 1;
	for(int len = 1 ; len <= n ; len ++)
	{
		for(int i = 1 ; i + len <= n ; i ++)
		{
			int j = i + len; 
			{
				if(a[i] < a[i + 1]) dp1[i][j] += dp1[i + 1][j];
				if(a[i] < a[j])     dp1[i][j] += dp2[i + 1][j]; 
				if(a[j] > a[i])		dp2[i][j] += dp1[i][j - 1];
				if(a[j] > a[j - 1]) dp2[i][j] += dp2[i][j - 1];
				dp1[i][j] %= mod , dp2[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	cout << (dp1[1][n] + dp2[1][n]) % mod << '
'; 
	return 0;
}