浅谈整除分块

模型：

(sum_{i=1}^{n}leftlfloorfrac{n}{i} ight floor)
假设 (n = 8)，那么可得：

(i)	1	2	3	4	5	6	7	8
(8/i)	8	4	2	2	1	1	1	1

概念：

表中同样的值会连续出现，而相同的值所划分的区间成为一个块。
整除的性质使得从 (1) 到 (n) 的表可根据数值划分为不同的块，且分块数远远小于 (n)。
利用这种性质，我们可以推导出每个分块具体的左右端点位置在哪，这样就可以快速求解出来了。

推导：

假设我们已知某一个分块的左端点 (l)，要求解出该分块的右端点 (r)。
设该分块的数值为(k)，对于该分块中的每个数(i)，有 (k=leftlfloorfrac{n}{i} ight floor=leftlfloorfrac{n}{l} ight])，即 (i imes k le n)。
那么显然满足 (i imes k le n) 成立的最大的 (i) 就是我们要的右端点 (r)。
于是可得：(left{egin{array}{l}k=leftlfloorfrac{n}{l} ight floor \ r=max (i), i imes k leq nend{array} ight.)
推导得：(r=leftlfloorfrac{n}{k} ight floor=leftlfloor frac{n}{leftlfloorfrac{n}{l} ight floor} ight floor)

变形0：

已知 (n,m)，求 (sum_{i=1}^{min(n,m)}lfloorfrac{n}{ i} floorlfloorfrac{m}{i} floor)
(left{egin{array}{l}k1=leftlfloorfrac{n}{l} ight floor,k2= leftlfloorfrac{m}{l} ight floor\ r=max (i), i imes k1 leq n,i imes k2 le mend{array} ight.)
(r = min(lfloorfrac{n}{k1} floor,lfloorfrac{m}{k2} floor))

变形1：

已知 (n,a,b)，求 (sum_{i=1}^{n}leftlfloorfrac{n}{a i+b} ight floor)
令 (i' = a imes i + b)，先求出 (leftlfloorfrac{n}{i'} ight floor) 的整除分块
可得 (k=leftlfloorfrac{n}{a imes l+b} ight floor)，(r'=leftlfloorfrac{n}{k} ight floor=leftlfloorfrac{n}{leftlfloorfrac{n}{a imes l + b} ight floor} ight floor)
(left{egin{array}{l}i'=a imes i +b \ r'=max (i')end{array} ight.)→(egin{cases}a imes i=i'-b\ i=dfrac{i'-b}{a}end{cases})→ (r=max(i)= max(leftlfloorfrac{i'-b}{a} ight floor) = lfloorfrac{r'-b}{a} floor)
$r =left lfloor dfrac{left lfloor dfrac{n}{lfloor dfrac{n}{a imes l+b} floor } ight floor -b}{a} ight floor $

变形2：

做法同上。
已知 (n)，求 (sum_{i=1}^{n}leftlfloorfrac{n}{i^2} ight floor)
令 (i' = i^2)，先求出 (leftlfloorfrac{n}{i'} ight floor) 的整除分块
可得 (k=leftlfloorfrac{n}{l^2} ight floor)，(r'=leftlfloorfrac{n}{k} ight floor=leftlfloorfrac{n}{leftlfloorfrac{n}{l^2} ight floor} ight floor)
(left{egin{array}{l}i=sqrt{i'} \ r'=max (i')end{array} ight.) → (r = max(i) = max(lfloorsqrt{i'} floor) = lfloor r' floor = lfloorsqrt{leftlfloorfrac{n}{leftlfloorfrac{n}{l^2} ight floor} ight floor} floor)

变形3：

已知 (n)，求 (sum_{i=1}^{n}leftlceilfrac{n}{i} ight ceil)
当 (n) 整除 (i) 时，(leftlceilfrac{n}{i} ight ceil = leftlfloorfrac{n}{i} ight floor)
当 (n) 不整除 (i) 时，(leftlceilfrac{n}{i} ight ceil = leftlfloorfrac{n}{i} ight floor + 1)
于是我们可以用 $lfloor frac{n+i-1}{i} floor $ 来代替 (lceilfrac{n}{i} ceil)
原式就转换为了 (sum_{i=1}^{n}lfloorfrac{n+i -1}{i} floor)

那么有 (left{egin{array}{l}k=leftlfloorfrac{n+l-1}{l} ight floor \ r=max (i), i imes k leq n+i-1 end{array} ight.)
(ecause i imes k le n+i-1 Rightarrow i imes(k-1) le n-1)
( herefore r=leftlfloorfrac{n-1}{k-1} ight floor=left[frac{n-1}{leftlfloorfrac{n+l-1}{l} mid-1 ight.} ight floor)