最近公共祖先
定义：给定一颗有根树，若结点 z 既是 x 的祖先，也是 y 的祖先，则称 z 是 x，y 的公共祖先。在 x，y 所有的公共祖先中，深度最大的一个称为 x，y 的最近公共祖先，简称(LCA(x,y))。
求解最近公共祖先一般有三种解法：向上标记法，树上倍增法和 Tarjan 算法。
1.向上标记法
即对于任何两个结点 x , y ，分别从x y 向上走并标记它们所有经过的节点，第一次相遇的节点即为最近公共祖先。其时间复杂度最坏为(O(n^2))。
2.树上倍增法
树上倍增法在很多问题都有很广泛的应用，当然最近公共祖先也可以用树上倍增算法来求，其基本思想是：
设d[x]>=d[y]，其中d[x]表示x的深度，然后利用二进制思想，将x不断调整直至和y在同一深度，检查此时x和y是否相等，若相等即为最近公共祖先，否则将x，y一起向上调整直至相等，此时则为最近公共祖先。
该算法时间复杂度为：(O((n+m)logn))具体代码（裸题，求权值）为：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
int head[maxn],dis[maxn],d[maxn],f[maxn][20];
struct Edge
{
int nex,to,val;
}edge[maxn<<1];
int T,t,n,m,tot;
queue<int> q;
void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(d,0,sizeof(d));
}
void add(int from,int to,int val)
{
edge[++tot].to=to;
edge[tot].val=val;
edge[tot].nex=head[from];
head[from]=tot;
}
void bfs()
{
q.push(1);
d[1]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex)
{
int y=edge[i].to;
if(d[y]) continue;
d[y]=d[x]+1;
dis[y]=dis[x]+edge[i].val;
f[y][0]=x;
for(int j=1;j<=t;++j)
f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
q.push(y);
}
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
for(int i=t;i>=0;--i)
if(d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=t;i>=0;--i){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d %d",&n,&m);
t=(int)(log(n)/log(2))+1;
init();
for(int i=1;i<n;++i){
int a,b,val;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&val);
add(a,b,val);
add(b,a,val);
}
bfs();
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
printf("%d
",dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]);
}
}
}
3.Tarjan算法
Tarjan算法本质上是用并查集对“向上标记法”的优化。它是一个离线算法（即将所有输入都输入完成后一起输出）；其时间复杂度为：(O(n+m))。
该算法将树中所有结点分成了三类：访问并回溯过，访问但为回溯过，未访问三类。该三类点分别标记为2,1和0。该算法的思想是当一个结点被标记为2时，则将它所在集合合并到它的父节点所在的集合中，这就相当于每个完成回溯的结点都有一个指针指向其父节点，所以只需查询y所在集合的代表元素，就等价与从y一直向上走到一个开始递归但尚未回溯的结点，即(LCA(x,y))。
还是上面的题面，看代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e4+10;
const int maxe=210;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct Edge
{
int nex,to,val;
}edge[maxn<<1];
int T,n,m,t,tot;
int head[maxn],fa[maxn],v[maxn],dis[maxn],ans[maxe];
vector<int> query[maxn],query_id[maxn];
void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(v,0,sizeof(v));
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i]=i;
query[i].clear();
query_id[i].clear();
}
}
void add(int from,int to,int val)
{
edge[++tot].to=to;
edge[tot].val=val;
edge[tot].nex=head[from];
head[from]=tot;
}
void add_query(int x,int y,int id)
{
query[x].push_back(y);
query_id[x].push_back(id);
query[y].push_back(x);
query_id[y].push_back(id);
}
int ffind(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=ffind(fa[x]);
}
void tarjan(int x)
{
v[x]=1;
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex)
{
int y=edge[i].to;
if(v[y]) continue;
dis[y]=dis[x]+edge[i].val;
tarjan(y);
fa[y]=x;
}
for(int i=0;i<query[x].size();++i)
{
int y=query[x][i],id=query_id[x][i];
if(v[y]==2){
int lca=ffind(y);
ans[id]=min(ans[id],dis[x]+dis[y]-2*dis[lca]);
}
}
v[x]=2;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d %d",&n,&m);
init();
for(int i=1;i<n;++i){
int a,b,val;
scanf("%d %d %d",&a,&b,&val);
add(a,b,val);
add(b,a,val);
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int x,y;
scanf("%d %d",&x,&y);
if(x==y) ans[i]=0;
else{
add_query(x,y,i);
ans[i]=inf;
}
}
tarjan(1);
for(int i=1;i<=m;++i)
printf("%d
",ans[i]);
}
system("pause");
}