KM算法

二分图带权匹配

目录

• 二分图带权匹配
  • 基本概念
  • KM算法
    • 模板题
    • 蚂蚁

基本概念

交错树：DFS过程中， 所有访问过的节点以及这些节点形成的边构成的树。(即寻找增广路过程中形成的树。)

顶标：每个顶点赋予的顶点标记值。满足：(a_i + b_j >= w(i, j))；

相等子图：满足 (a_i + b_j == w(i, j)) 的边构成的子图。

定理：当相等子图中存在完美匹配时， 这个完美匹配就是二分图的带权最大匹配。

​ 证明：显而易见。

KM算法

算法流程：

1. 初始化可行顶标的值 (设定la,lb的初始值)。
2. 用匈牙利算法寻找相等子图的完备匹配。
3. 若未找到增广路则修改可行顶标的值。
4. 重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止。

修改方法：对于交错树中所有左边顶点，减去一个常数delta, 对于交错树中所有的右顶点，加上这个常数delta。其中delta为所有不在交错树中 (a_i + b_j - w(i, j)) 的最小值。

模板题

【题意】：就是模板题。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 310;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6, pi = acos(-1);
int gcd(int a,int b)    { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

int n, match[maxn];
bool va[maxn], vb[maxn];
LL upd[maxn], w[maxn][maxn], delta;
LL la[maxn], lb[maxn];

bool dfs(int u)
{
    va[u] = 1;
    for(int v = 1; v <= n; ++v){
        if(vb[v])   continue;
        if(la[u] + lb[v] - w[u][v] == 0){
            vb[v] = 1;
            if(!match[v] || dfs(match[v])){
                match[v] = u;
                return 1;
            }
        }
        else{
            upd[v] = min(upd[v], la[u] + lb[v] - w[u][v]);
        }
    }
    return 0;
}
LL km()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        la[i] = -inf;
        lb[i] = 0;
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            la[i] = max(la[i], w[i][j]);
            match[j] = 0;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        while(true){
            memset(va, 0, sizeof(va));
            memset(vb, 0, sizeof(vb));
            memset(upd, inf, sizeof(upd));
            if(dfs(i))  break;
            delta = inf;
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(!vb[j]) delta = min(delta, upd[j]);
            }
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(va[j])   la[j] -= delta;
                if(vb[j])   lb[j] += delta;
            }
        }
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += w[match[i]][i];
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n)){
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                scanf("%lld", &w[i][j]);
            }
        }
        printf("%lld
", km());
    }
    system("pause");
}

蚂蚁

【题意】：2 * n 个点， 黑白点各n个，怎么匹配黑白点使得每一对匹配之间的连线没有交点。

【思路】：随便举一个例子画个图形会发现：如果两个匹配之间没有交点，那么他们之间的距离之和一定最小。可以用三角形两边之和大于第三边来反证它。

注意：

1. 判断实数之间的大小和是否相等一定要加 (eps！！)
2. 用km算法求最小匹配时可以将所有边的权值取相反数，这样变成了最大匹配，输出 (-ans) 即可。
3. (dfs) 里面求 (delta) 常数较大，可以放在 (km)函数中求并用 (va[i] && !vb[j]) 来剪枝。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 110;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6, pi = acos(-1);
int gcd(int a,int b)    { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

struct node{
    int x, y;
}a[maxn], b[maxn];
int va[maxn], vb[maxn], n, match[maxn];
double w[maxn][maxn];
double la[maxn], lb[maxn];
int ans[maxn];

inline double dis(node a, node b) { return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y)); }
bool dfs(int u)
{
    va[u] = 1;
    for(int v = 1; v <= n; ++v){
        if(vb[v])  continue;
        if(fabs(la[u] + lb[v] - w[u][v]) < eps){        //实数比大小一定要加eps!!!
            vb[v] = 1;
            if(!match[v] || dfs(match[v])){
                match[v] = u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
void km()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        la[i] = -inf;
        lb[i] = 0;
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            la[i] = max(la[i], w[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        while(true){
            memset(va, 0, sizeof(va));
            memset(vb, 0, sizeof(vb));
            if(dfs(i))  break;
            double delta = inf;
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(!va[j])  continue;
                for(int k = 1; k <= n; ++k){
                    if(vb[k])   continue;
                    delta = min(delta, la[j] + lb[k] - w[j][k]);
                }
            }
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(va[j])   la[j] -= delta;
                if(vb[j])   lb[j] += delta;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        ans[match[i]] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        printf("%d
", ans[i]);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){    //黑点
        scanf("%d %d", &b[i].x, &b[i].y);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d %d", &a[i].x, &a[i].y);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            w[i][j] = -dis(b[i], a[j]);
        }
    }
    km();
    system("pause");
}