解题报告 Valentine‘s seat

 

1.        题目

1．Valentine’s Seat(seat)

描述

今天是情人节的前一天，小杉还在电影院打工（惨啊…）。

老板很懂得情人节的情调，要小杉提前做好准备，那么现在给小杉的任务是对电影院的座椅上色。

电影院总共n+1行m+1列的椅子排成一个矩阵。第一行的椅子已经全部上了粉红色，第一列从第二个开始的椅子已经全部上了天蓝色。

一个可爱的上色方案应该满足除了第一行第一列以外，对任意的一个椅子，它的颜色应当和它左边的一把椅子（同行）或上面的一把椅子（同列）颜色相同。

小杉现在想知道总共有多少种可爱的上色方案。

输入格式

一行两个整数n,m(1<=n,m<=3000)

输出格式

仅有一行，一个整数，为上色方案数对19900801取模的结果

样例输入

1 1

样例输出

2

样例解释

唯一可上色的一把椅子，不是粉红就是天蓝，怎样都是可爱的

 

2.        题目实质

求一种特殊的 01 矩阵。

3.        算法

递推，其实这也是一个数学题。

抽象出模型，就是01矩阵的问题，问题即为求最上一行全是1，最左一列全是0的01矩阵，任意一个元素与其前趋或上继相同的情况数。而这种情况等价于任意一行的0的个数大于等于上一行的0的个数（假如比上一行少的话，上一行多出的0的下继为1，这个1不满足题意）。

接下来就很简单了，我们令f[n,k]为第n+1行有k+1个0的情况，则

f[n,k]=sum{f[n-1,j]}(j=1..k)

简单变换得

f[n,k]=f[n-1,k]+f[n,k-1]

初始状态为f[0,0]=1，结果为f[n,m] (f[n,m]=sum{f[n-1,j]}(j=1..m))

空间限制的问题，使用滚动数组可以解决。

其实仔细观察的话，会发现结果就是C(n+m,n)

注意 n=0 (第 0 行) ，或是 k=0 (这一行这有最边上那一个零) 时 ，f=1 。

 

4.        注意事项

话说这个题我的式子推对了，初始化打错了 XD 。

所以，注意初始化啊啊。

5.        时空复杂度

O(n,m)

6.        程序代码

LZY（std）  （pascal）

const

 k=19900801;

var

 a:array[0..3000,0..3000]of longint;

 n,m:longint;

 i,j:longint;

 

begin

assign(input,'seat.in');reset(input);

assign(output,'seat.out');rewrite(output);

readln(n,m);

for i:=1 to n do a[i,0]:=1;

for i:=1 to m do a[0,i]:=1;   //此处第一行为第 0 行

 

for i:=1 to n do begin

 for j:=1 to m do begin

  a[i,j]:=(a[i-1,j]+a[i,j-1])mod k;

 end;

end;

 

if(a[n,m]<0)then writeln(a[n,m]+k) else writeln(a[n,m]);  //防止 mod 过头

close(input);

close(output);

end.