浮点数精度丢失问题

C#中的浮点数，分单精度（float）和双精度（double）：

float 是 System.Single 的别名，介于 -3.402823e38 和 +3.402823e38 之间的32位数字，符合二进制浮点算法的 IEC 60559:1989 (IEEE 754) 标准；

double 是 System.Double 的别名，介于 -1.79769313486232e308 和 +1.79769313486232e308 之间的64位数字，符合二进制浮点算法的 IEC 60559:1989 (IEEE 754) 标准；

我们知道，计算机只认识 0 和 1，所以数值都是以二进制的方式储存在内存中的。

（对于人脑和计算机哪个聪明，个人更倾向于选择人脑，计算机只是计算得快，而且不厌其烦而已！）

所以要知道数值在内存中是如何储存的，需先将数值转为二进制（这里指在范围内的数值）。

根据 IEEE 754 标准，任意一个二进制浮点数 V 均可表示为：V = (-1 ^ s) * M * (2 ^ e)。

其中 s ∈ {0, 1}；M ∈ [1, 2)；e 表示偏移指数。

以 198903.19(10) 为例，先转成二进制的数值为：110000100011110111.0011000010100011(2)（截取 16 位小数），采用科学记数法等于 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)（整数位是 1），即 198903.19(10) = (-1 ^ 0) * 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)。

整数部分可采用 "除2取余法"，小数部分可采用 "乘2取整法"。

从结果可以看出，小数部分 0.19 转为二进制后，小数位数超过 16 位（我已经手算到小数点后 32 位都还没算完，其实这个位数是无穷尽的）。

由于无法得到完全正确的数值，这里就引申出浮点数精度丢失的问题：

/* 程序段1 */
float num_a = 198903.19f;
float num_b = num_a / 2;
Console.WriteLine(num_a);
Console.WriteLine(num_b);

这段程序代码，我们预想中正确的结果应该是：198903.19 和 99451.595。

但结果居然是！！！原因下面将讲到 ...

这里介绍另一种转小数部分的方法，有兴趣可以看下：

假如结果要求精确到 N 位小数，那么只需要将小数部分乘以 2 的 N 次方（例如 N = 16，0.19 * (2 ^ 16)，得到 12451.84）。

取整数部分（12451），按整数的方法转为二进制，得到 11000010100011，不足 N 位在高位用 0 补足。

结果 0.19 精确到 16 位后，用二进制表示为 0.0011000010100011。

可以看出，若是小数部分乘以 2 的 N 次方后，可以得到一个整数，那么这个小数可以用二进制精确表示，否则则不可以。

（原理很简单，根据二进制小数位转十进制的方法，反推回去就可以得到这个结果）

在内存中，float 和 double 的储存格式是一致的，只是占用的空间大小不同。

float 总共占用 32 位：

从左往右，第 1 位是符号位，占 1 位；第 2-9 位是指数位，占 8 位；第 10-32 位是尾数位，占 23 位。

double 总共占用 64 位，从左往右第 1 位也是符号位，占 1 位；第 2-12 位是指数位，占 11 位；第 13-64 位是尾数位，占 52 位。

其中，符号位（即上文的 s，下同），0 代表正数，1 代表负数。

对于 float，8位指数位的值范围为 0-255(10)，由于指数（即上文的 e，下同）可正可负，而指数位的值是一个无符号整数。根据标准规定，储存时采用偏移值（偏移值为127）的方法，储存值为指数 + 127。例如 0111 0011(2) 表示指数 -12(10)（(-12) + 127 = 115），1000 1011(2) 表示指数 12(10)（12+ 127 = 139）。

{

　　另外，IEEE 754 规定（同样适用于 double）：

　　当指数全为 0 时，如果尾数全为 0，表示 ±0（正负取决于符号位），如果尾数不全为 0，计算时指数等于 -126，尾数不加上第一位的1，而是还原为 0.xxxxxx 的小数，表示更接近 0 的小数；

　　当指数全为 1 时，如果尾数全为 0，表示 ±无穷大（正负取决于符号位），如果尾数不全为 0，表示这不是一个数（NaN）。

　　资料来自非规约形式的浮点数

}

同样的，对于 double，11位指数位，储存时采用的偏移值为 1023。

尾数位，由于所有数值均可以转换成 1.xxx * (2 ^ N)（此处暂时忽略精度问题），所以尾数部分只保存小数部分（最高位的 1 不存入内存，提高 1 个位的精度）。

以 float 198903.19 为例，二进制为 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)；

数值为正数，符号位是 0；

指数是 17，保存为 144（17 + 127 = 144），即 10010000（共 8 位，不足 8 位在高位用 0 补足）；

小数位是 10000100011110111001100（截取 23 位）；

最终得到：01001000 01000010 00111101 11001100，按字节倒序顺序，转为十六进制就是：CC 3D 42 48

float f_num = 198903.19f;
var f_bytes = BitConverter.GetBytes(f_num);
Console.WriteLine("float: 198903.19");
Console.WriteLine(BitConverter.ToString(f_bytes));
Console.WriteLine(string.Join(" ", f_bytes.Select(i => Convert.ToString(i, 2).PadLeft(8, '0'))));

同样的格式，double 198903.19 最终得到：01000001 00001000 01000111 10111001 10000101 00011110 10111000 01010010（最后两位结果为什么是 10 而不是 01，请参考浮点数的舍入），按字节倒序顺序，转为十六进制就是：52 B8 1E 85 B9 47 08 41

double d_num = 198903.19d;
var d_bytes = BitConverter.GetBytes(d_num);
Console.WriteLine("double: 198903.19");
Console.WriteLine(BitConverter.ToString(d_bytes));
Console.WriteLine(string.Join(" ", d_bytes.Select(i => Convert.ToString(i, 2).PadLeft(8, '0'))));

回到精度丢失的问题，由于小数位无法算尽，内存用截取精度的方式储存了转换后的二进制，这导致保存的结果并非是完全正确的数值。

看回 程序段1 的例子，

num_a 在内存中其实是保存为：01001000 01000010 00111101 11001100，换算成十进制就是：198903.1875；

num_b 在内存中其实是保存为：01000111 11000010 00111101 11001100，换算成十进制就是：99451.59375；

先看 num_b，由于 num_a 在内存中储存的值已经是不正确的，那么再利用其进行计算，得到的结果 99.9% 也会是不正确的。所以 num_b 的结果并不是我们想要的 99451.595。

然后为什么 198903.1875 会变成 198903.2，而 99451.59375 会变成 99451.595 呢？我们知道，内存中确实是储存了 198903.1875 和 99451.59375 这两个值，那么就只有可能是在输出的时候做了变动。其实这是微软做的小把戏，我们有句俗话说"以毒攻毒"，大概就这个意思，既然储存的已经是不正确的数值，那么在输出的时候，会智能地猜测判断原先正确的数值是什么，然后输出猜测的那个值，说不定就真的猜中了呢！

（之前看过的一篇文章写的，忘了地址，大概就这个意思。如果不是因为这个原因，大家就当饭后娱乐吧。）

如果有写错的地方，请帮忙指正。谢谢 ...